目錄
作品簡介
GEB:一條永恆的金帶《GEB：一條永恆的金帶》是20世紀80年代由中國四川人民出版社出版印行的一套叢書其中的一本，由樂秀成編譯。是《哥德爾 艾舍爾 巴赫：集異璧之大成》的簡縮版。這本書指出有一條永恆的金帶把數理邏輯、繪畫、音樂等不同領域間的共同規律連在一起, 構成了人工智慧和生命遺傳機制的基礎．《GEB：一條永恆的金帶》從數學、邏輯學、生命遺傳、大腦思維、人工智慧、甚至音樂。繪畫等許多不同領域對莫比烏斯帶進行了討論，使人們發現怪圈有著豐富的內蘊，它與自然、科學、人類、藝術都有著深刻的聯繫。 本書於1980年獲美國普利茲獎新聞獎。
《GEB：一條永恆的金帶》書名中的＂G＂, 指本世紀偉大的數學、數理邏輯專家哥德爾(Gdel) , ＂E＂指當代傑出的畫家埃舍爾 (Escher) , ＂B＂則是巴赫 (Bach) 這最負盛名的古典音樂大師．
作品目錄
1 ……………… 怪圈
2 ……………… 同構
3 ……………… 形式系統
4 ……………… 遞歸
5 ……………… 歌德爾定理
6 ……………… 大腦與思維
7 ……………… 人工智慧
8 ……………… 自我相關與自我複製
9 ……………… 結束語
譯者按
作品節選
1.1 繪畫與音樂中的怪圈
我第一次知道埃舍爾的名字是在十多年前。那時我津津有味地看著諾貝爾物理學獎金的獲得者楊振寧博士所著的小冊子《基本粒子發現簡史》。我特別注意到楊振寧先生在前言中對埃舍爾先生允許他採用《騎士圖》表示深深的謝意。我被這張圖深深地吸引住了，因為埃舍爾以優美的圖形及其鏡像巧妙地表現了對稱性的原理。這些原理在物理學的世界中起著極為重要的作用。可惜，迄今為止，中國人一般還不熟悉埃舍爾的作品，但是在西方他是一位別具一格、極有影響的畫家。埃舍爾創造了一系列富有智慧的圖畫，其中有許多畫體現了奇妙的悖論、錯覺或者雙重的含義。因此，在埃舍爾作品的崇拜者中間有許多數學家也就不足為怪了。當我們慢慢欣賞埃舍爾的畫並在其中發現那些美妙的數學原理時，那是一種多么愉快的享受啊！
埃舍爾的畫往往表現了一些很深刻的思想，怪圈就是其中最常見的一種。我們先來看看那幅奇怪的版畫《瀑布》(圖1)。在畫面的中央，瀑布傾瀉而下，水花四起，還推動了水輪。匯集到水池中的水則順著水渠嘩嘩地流去，一級一級地下降。突然水又流到了瀑布口！真是不可思議，可是在畫面上卻表現得明明白白。我們只能把這種周而復始的圈稱作“怪圈”。
我們再看那幅《上升與下降》(圖2)。在這冰冷陰森的教堂里，僧侶們排成兩隊往前走。其中一隊總是沿著樓梯往上走，另一隊總是往下走。可是他們走的卻是同樣的樓梯，並且不斷地回到原來出發的地方。真是妙不可言。這又是一個怪圈。所謂怪圈就是指這樣一種現象，我們在某一個等級系統中逐步上升(或者下降)，結果卻意外地發現又回到了原來開始的地方。有時我就用“纏繞的層次”來描述其中有怪圈的體系。怪圈還要在本書中一再出現，忽上忽下，時隱時顯，希望讀者能夠細細地體會它的內在含義。
有趣的是在音樂中也有這樣奇妙的怪圈。為此我們先介紹一下近代西方音樂的鼻祖，被譽為“音樂之父”的J·S·巴赫。巴赫是頗負盛名的鋼琴家、風琴家和作曲家。當時的普魯士國王弗里德利希是他的崇拜者。他把62歲的巴赫邀請到自己的宮廷來，並向他展示了自己收藏的鋼琴。這種鋼琴在當時還是問世不久的珍品。
巴赫在每一架鋼琴上進行即興表演，使得弗里德利希大為傾倒。當巴赫返回萊比錫後，他收到了國王自己創作的一部分樂譜。巴赫在這些樂譜的基礎上寫成了舉世聞名的主題樂曲《音樂的奉獻》，並把它奉獻給弗里德利希國王。巴赫在這部作品中充分發揮了形式上的技巧。有趣的是，在這種登峰造極的技巧中就包含著怪圈。
為了理解音樂創作中的怪圈，我們必須先談談“卡農”。卡農是音樂家們熟悉的，它就是重複地演奏同一主題。最簡單的方式既是用不同的音部重複演奏，每個音部都比前一個音部延遲一段時間。大部分樂曲的主題與這種演奏方法是不協調的。適合多音部的主題必須使每個音符具有雙重(或多重)的功能，它既是主題中的一部分，又必須與其他音部保持和諧。
在《音樂的奉獻》中，用一種特殊的卡農技巧構成了怪圈。它由三個音部組成。當最高音部演奏主題時，其餘兩個音部提供卡農式的協奏。這種卡農最大的特點就是神不知鬼不覺地進行變調，使得結尾最後能很平滑地過渡到開頭。這種首尾相接的變調使聽眾有一種不斷增調的感覺。在轉了幾圈之後，聽眾感到已經離開原來的調很遠了。可是奇妙的是通過這樣的變調又能回到原來的調上。這就是音樂中的怪圈。我們可以體會巴赫的創作意圖，無疑他有這樣一種想法，採用這種方法可以使升調的過程無限地進行下去。因此他在樂譜上專門註上了“陛下的榮耀也隨著變調而增高”。我們不妨把這種卡農稱為“無限升高的卡農”。
如果我們把“無限升高的卡農”與埃舍爾的畫《瀑布》以及《上升與下降》作個比較，就可以發現兩者的相似性是極為明顯的。巴赫和埃舍爾採用不同的藝術形式：音樂和美術，卻表現了同樣的思想：怪圈。
埃舍爾用繪畫表現的怪圈有許多不同的形式，有鬆弛的也有緊湊的。在《上升與下降》中，這種怪圈是比較鬆弛的，僧侶們要經過許多級才能返回原處。而在“瀑布”中怪圈就要緊湊一些，它總共只有6級。你也許已經想到了，這裡“級”的計算有含糊不清之處。例如我們可以把《上升與下降》的系統算成是45級(按台級算)，也可以算成是4級(按樓梯算)。這種模稜兩可性不僅表現在埃舍爾的畫的怪圈上，也表現在其他形式怪圈的系統中。更緊湊的怪圈可以在《畫畫的雙手》(圖22)這幅畫中看到。而最緊湊的怪圈要數《畫廊》(畫23)了。這幅畫中之畫包含著自身。我們可以說畫廊中的一幅畫包含著它自身，也可以說這個城市包含著它自身。
怪圈的內在含義也是在有限中包含無限的概念。它不僅僅是一個圈，而且是埃舍爾納著名作品《變形》(圖4)中表現得極為明顯。我們從作品的某點出發，隨著畫面的逐級變化而向前走去，走著走著卻突然回到了原來出發的地方。
1.2 怪圈與悖論
在巴赫和埃舍爾創造的這些怪圈中，存在著無限與有限的矛盾，荒唐與真實的對比，往往會給人以強烈的悖論感。這種直覺表明，在怪圈中包含著深刻的數學原理。事實也確實如此。就在我們生活的這個世紀裡，有一個影響深遠、與之呼應的重大數學發現，這就是哥德爾在數學系統中發現了怪圈。這種怪圈可以說是起源於一個古老的邏輯悖論。它在歷史上被稱為愛皮梅尼特悖論。
愛皮梅尼特是—個克里特島人。他說：“所有的克里特島人都撤謊。”假如他說的話對的，那么作為克里特島人的愛皮梅尼特就是在撤謊，那么他的話就是錯的。反之，假設他的話不對，那么作為克里特島人的愛皮梅尼特就沒有撒謊，他的話就是對的。無論採用哪一種假設，都是無法自圓其說的。我們也可以把這個悖論表述成更為簡潔的形式。這就是“我說的這句話是錯的”。這是和《畫廊》一樣的單級怪圈。因為這個句子中的“話”可以指這個句子本身。這就是說一個句子在描述這個句子本身。
以後人們又發現了許多其他形式的悖論。尤其是在本世紀初，隨著集合論與數理邏輯的發展，在數學和邏輯中發現了許多悖論。其中最著名的有康托爾悖論和羅素悖論。在這些悖論中好像都有一個共同的“犯罪”，這就是自我相關，或者就是我們所說的“怪圈”。羅素悖論用形象的語言來描述，就是有一位理髮師聲稱，他給所有不給自己理髮的人理髮。那么這個人是否給自己理髮呢？如果他給自己理髮，就違背了自己的聲明。如果他不給自己理髮，也沒有兌現自己的諾言。用集合論的述語來說，羅索悖論就是定義這樣一個集合A，它由所有不屬於A的元素a組成。那么A是否屬於它本身呢?如果A不屬於A，那么按照集合A的定義，它就屬於A。如果A屬於A，那么按照定義它就是不屬於A的元素。顯然在羅素悖論中，最關鍵的地方就是假定一個集可以自己屬於自己。這就是自我相關。因此，要想排除悖論很自然就會想到，要防止自我相關和造成自我相關的條件的出現。
羅索和懷特海就是在這種思想的指導下寫出《數學原理》的。他們竭力想把“怪圈”從邏輯、集合論以及數論中驅除出去。他們的基本思想是把集合分成各種等級。最低一級的集合只能以那些“對象”而不能以其他集合為元素。較高一級的集合只能以對象或者更低級的集合為元素。這樣每個集合都被安置在某一個等級上，也就排除了一個集合以自己為元素的可能性。
如果我們把所有的集合分成兩類。第一類集合不能以自己為元素，也就是說自己不能屬於自己，我們稱為r型。第二類集合可以以自己為元素，我們稱為s型。那么在《數學原理》規定的系統中就只有r型的集合。這樣進行分級，可以使集合論中不再出現悖論。但是付出的代價是必須引進人為的分級和禁止生成某種類型的集合。例如所有集合的集合，或者所有不屬於A的集合，也就是我們所說的s型集合。
這種理論可以用來對付羅素悖論，但是無法對付愛皮梅尼持悖論。因為用同樣的方法對付愛皮梅尼特悖論就要對語言進行分級。於是就有所謂的對象語言、有描述語言的元語言，還有描述元語言的元元語言，等等。
我們模仿《畫畫的雙手》把上述悖論寫成兩句的形式：
下面這句話是錯的。
上面這句話是對的。
如果按照分級理論的規定，上面這句話是描述下面這句活的，因此它屬於更高一級。但是按照同樣的道理，下面這句話應該比上面這句話屬於更高一級。因此這兩句話不能同時滿足分級理論的要求，也就是說它們不能同時有意義。
如果說把集合進行分級的理論還是貌似有理的，那么把語言進行分級就是十分荒唐的。當我們談論各種事物時，是決不會意識到自己在不同的層次之間上竄下跳的。例如“我在這本書中評論了分級的理論”。這是很普通的一句話。但是在嚴格分級的語言系統中它就要受到雙重的禁止。首先，在這句話中談到了“這本書”，它只能在“元書”所屬的層次中出現，而不能在“這本書”所屬的層次中出現。其次，這句話居然談到了我，這是我無論如何不允許談論的。這個例子清楚地說明了，如果把嚴格分級的理論引進我們所熟悉的日常語言中來，將是多么荒謬。由此可見，如果用這種方式來彌補由於悖論出現而造成的缺陷，即排除任何形式的自我相關，實際上是走過頭了。它把美妙的語言結構變成了沒有價值的殭屍。
也許有入會辯解說，這種分級的理論可以適用於形式語言而不是我們用的日常語言。但總這恰好說明了，這種理論只有在我們人為拼湊的系統中，為了避免悖論才有用處。而為此作出的犧牲，卻是在這種人為的系統中加上生硬的限制。這樣的理論系統雖然是一致的，卻是乏味的、令人生厭的。你一定會感覺到這裡有什麼地方不對頭了。
不過還應該指出的是，在本世紀韌，數學家們並沒有把語言中無法排除怪圈看得那么嚴重。他們至少可以這樣安慰自己，語言是不嚴格的，而數學卻是嚴密無隙的，只要能在數學理論中排除怪圈就可以了。於是數學家們為自己確立了這樣的目標，建立一座形式系統的大廈，過座大廈的基石是一些公理，然後嚴格按照形式邏輯推導出系統中的每一個定理，而整個系統是完全確定的，不會相互矛盾的。在這樣的系統中可以排除任何悖論的出現。這就是《數學原理》的目標，它要用邏輯來推導出所有的數學成果而又不會產生矛盾！這種目標確實是激動人心的，但是當時誰也無法肯定，採用羅素和懷特海所提供的方法，能否囊括所有的數學成果；也無法知道，這種方法能否永遠保持一致，即完全排除悖論的出現。
傑出的德國數學家(也是研究數學基礎的元數學家)希爾伯特沿著羅素開闢的道路勇往直前。他向數學界提出了一個明確的任務：嚴格地按照羅素和懷特海所描述的方法，證明《數學原理》所定義的系統既是一致的(無矛盾)又是完備的(該系統的理論框架中容納了每個正確的數論命題)。這就是數學史上著名的希爾伯特綱領。當希爾伯特提出這個綱領後，就有人尖刻地批評這種說法是一種循環，你怎么能呢？這似乎是要抓住自己的頭髮把自己舉起來。 (我們看來是無法擺脫這種該死的怪圈了。)
希爾伯特意識到這種困難性。他進一步加以說明，這種關於一致性和完備性的證明只能依賴於“有限”的推理步驟。這個目標曾經在本世紀的前30年中使許多偉大的數學家絞盡腦汁。但是到了1931年，哥德爾發表了他的論文《論＜數學原理＞中形式上不可判定的命題及其有關係統I》。這篇論文徹底推翻了希爾伯持綱領，因為它指出了沒有一種公理系統可以導出數論中所有的真實命題，除非這種系統是不一致的，即存在著互相矛盾的悖論。因此企圖證明《數學原理》所示系統的一致性是徒勞的。如果能夠找到一種證明，僅僅使用《數學原理》中的方法，那就會得到哥德爾定理最神秘的結論：《數學原理》本身是不一致的！於是怪圈成了邏輯和數學中無法驅除的幽靈。
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作者介紹
道格拉斯·霍夫斯塔德道格拉斯·理查·郝夫斯台特（Douglas Richard Hofstadter，1945年2月15日生），美國作家。侯世達是他的中文名。因其著作《哥德爾、埃舍爾、巴赫》獲得普立茲獎非小說類別。
出生 1945年2月15日 (1945-02-15) （64歲）
紐約
職業 認知科學教授 計算機科學家
國籍 美國
創作時期 1979年至今
代表作 《哥德爾、埃舍爾、巴赫》
美國著名學者，計算機科學家，印第安納大學計算機科學和認知學教授，觀念與認知研究中心主持人，哲學、心理學、比較文學、科學史與科學哲學副教授。
曾獲得美國出版界最高獎項――普利茲獎的科普著作《哥德爾、埃舍爾、巴赫：集異璧之大成》（G?del, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid），作者美國人侯世達（Douglas Hofstadter），就將埃舍爾的版畫，與數學家哥德爾的不完備定理，作曲家巴赫的音樂相對比，引人入勝地介紹了數理邏輯學、可計算理論、人工智慧學、語言學、遺傳學、音樂、繪畫的理論等多方面內容。
外部連結
《GEB：一條永恆的金帶》中譯本及英文原文 ttp://homepage.fudan.edu.cn/~Ayukawa/at/20050606.htm
