簡介
二十世紀最偉大的數理邏輯學家--哥德爾
（一）哥德爾及其主要數學成就
哥德爾（Godel，1906～1978）生於現捷克，卒於普林斯頓。廿世紀最偉大之數理邏輯學家，其不完備定理是廿世紀最具啟發性的思想發現之一。
Godel自小便很好奇，青少年時即對數學、哲學、語言與歷史產生極大的研究熱誠。他在維也納大學原主修理論物理，後轉回數學，並參與 Schlick（石里克）領導的「維也納學圈」，對數學與科學作本質的哲學探索，1928年因聽了 Brouwer 的演講，乃致力於數理邏輯的研究。
自19世紀中，由於非歐幾何的確立、分析嚴格化的要求與羅素悖論的出現，數學基礎的問題吸引許多一流數學家的眼光，當時數學∕哲學家熱切地想將數學確定性的大廈奠基於某種不可懷疑的基礎上，雖然多數人都很樂觀，但是從 Hilbert 與 Ackermann 在1928年提出下列的未解問題：「一階邏輯是否完備(complete)或可決定(decidable)？」，顯示整個基礎化計畫的進度十分緩慢。1929年 Godel 初試啼聲，漂亮地在他的博士論文中證明一階邏輯的完備性，給 Hilbert 的計畫打下一劑強心針，但是不久後(1931)，Godel 卻證明了他最知名的「不完備定理」：
設S為一包含算術系統的公理系統，若 S 兼容（consistent，即不自我矛盾），則 S 不完備（即在 S 中有些敘述為真，卻無法由 S 的公理推導出來）。
使數學界（尤其是 Hilbert 學派）戲劇性地經歷烈火寒冰般的巨變。Godel 也因此聲名如日中天。1933年他應邀訪美講學演說，此行他結識日後的摯友愛因斯坦。30年代的歐洲瀰漫著法西斯的氣氛，Godel 亦師亦友的 Schlick 也因此被刺殺，這個噩耗使他陷入精神沮喪，終其一生困擾著他的研究生活。大戰前夕，他完成另一個重要的工作─證明選擇公理與連續統假設皆與ZF集合論兼容。1940年他經由俄羅斯、日本到達美國，從此定居於普林斯頓。
Godel 在美國的研究重心，逐漸轉移到其它方面。由於與愛因斯坦時相往來，40年代末，Godel 致力於探討廣義相對論與時間的意義，證明循環時間與愛因斯坦方程並無矛盾（他還因此在1950年的國際數學家會議提出報告）。另外，Godel 一直從事於哲學的深度思考，專心研讀 Leibniz、康德、Husserl（胡賽爾）等的著作，留下的哲學思考筆記無數，還沒有充分地編注印行。Godel 晚年（1971年起）時常與華裔邏輯∕哲學家王浩討論，並因而促成王浩撰寫《Reflection on Kurt Godel》的佳話。Godel 個人包辦了數理邏輯幾個經典定理，並為整個領域帶來革命性的風貌，堪稱是廿世紀最偉大的數理邏輯學家。尤其是他的「不完備定理」，由於暗示了一個理性系統不可能是全知的想法，經常被引申（或過度引申）到其它領域。例如：自然是無法被人類了解；語言是沒有界限的；心靈無法認識自己等。非科學家最常引用的數學定理，竟然如此晦澀，也該算是廿世紀的數學奇談了。
（二）閱讀材料：感悟《哥德爾》
有一個人曾在不到兩年的時間內讓數學界感受了大喜與大悲的經歷，他就是哥德爾（Kurt Gödel,1906.4.28-1978.1.14）。
1929年秋，哥德爾在他的博士論文中證明了一階邏輯的完全性，這對於當時試圖以“公理化”方法構建數學基礎的形式主義學派是一個莫大的鼓舞。希爾伯特，形式主義學派的領軍人物，確信他的元數學和證明論將會成功地確立全部數學的相容性和完全性。哥德爾的邏輯完全性定理似乎表明曙光就在前頭。1930年夏天，柯尼斯堡，康德的誕生地，也是希爾伯特的故鄉，在接受“榮譽市民”受禮儀式的演說中，希爾伯特堅定地說出最後一句話：“我們必須知道，我們必將知道（Wir müssen wissen. Wir werden wissen）”。
但就在第二年，哥德爾發表的另一篇論文卻打開了“潘多拉的盒子”。這篇題為《論〈數學原理〉及有關係統的形式不可判定命題》（1931年）的論文包含了兩個驚世駭俗的結論，其中對數學界尤具毀滅性的斷言是：任何數學系統，只要其能包含整數的算術，其相容性就不可能通過幾個基礎學派（邏輯主義學派、形式主義學派、集合論公理化學派）採用的邏輯原理建立。希爾伯特的幻想破滅了，數學的“災難”降臨了！有人悲嘆地說：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”（外爾）
哥德爾的影響是深遠的，最新的一個例子足以說明。2002年夏天北京國際數學家大會，霍金的報告就是《哥德爾與Ｍ理論》。在當今國際物理研究領域，很多科學家提出有可能存在一個能描述一切物理現象的理論，並把這一理論稱為超弦理論。霍金認為，建立一個單一的描述宇宙的大統一理論是不太可能的。霍金說他的這一推測正是基於數學領域的哥德爾不完全性定理。
可是，哥德爾卻一直是一位被神秘所籠罩的傳奇人物。他的生活特異獨行，超然遁世，他的思想沉奧深邃，意蘊廣遠。我們中的很多人也許是讀了侯世達（Hofstadter,D.R.）的《哥德爾、艾舍爾、巴赫—集異璧之大成》（《GEB—一條永恆的金帶》是該書節譯本）了解哥德爾的。其實，這部奇書在哥德爾的頭上增添了更神秘的光環。感謝王浩先生，他的《哥德爾》（Reflections on Kurt Gödel ,1987，1991，康宏魁譯，上海世紀集團出版社，上海譯文出版社，2002年9月第1版）一書使我們終於可以走近哥德爾，去感受那平凡軀體下偉大而真誠的心靈。
哥德爾的與眾不同表現在他的思想、他的關注、他的生活格調、他內心深處的精神世界。王浩先生正是從獻身基本理論的角度展開哥德爾的生平的。值得注意的是王浩先生首先將焦點聚集在與哥德爾生平和事業密切相關的三樣重要的史料（哥德爾哥哥答覆王浩的回信、格蘭瓊專為哥德爾設計的生平調查表、哥德爾獲得洛克菲勒大學榮譽學位時王浩的引薦辭）。正是在許多珍貴史料基礎上，王浩為我們仔細勾畫了哥德爾畢生事業的全貌。似乎是歷史的巧合，當哥德爾幾經周折從維也納抵達普林斯頓後，與愛因斯坦成了結交10年以上的好友。王浩先生巧妙地“假道愛因斯坦”，以對比的手法，描述了兩位智者的友誼以及他們在物理、邏輯、哲學、政治、藝術甚至宗教上思想與見解。這樣就為讀者通達哥德爾的精神思想打開了一條便道。
其它
哥德爾的科學工作令人讚嘆，這也是王浩先生著力描寫的重點。可是，照哥德爾自己說，他一生用於哲學的時間和精力比用於科學的還要多。在哲學中，哥德爾所推崇的5種好品格“善取捨、求準確、棄偏見、慎試驗、有膽魄” 確實令人動心。哥德爾的博大視野與敏銳眼光還在他對科學、技術與社會的評述中顯示出來。書中披露哥德爾在1962年就指出“人類並不會因為登上月球就有所改進。這必定跟‘自然’科學與‘精神’科學之間的老衝突有關。如果史學、法權與國家學說、哲學、心理學、文學、藝術等等的進展像物理學那么大，原子戰爭的危險就不會有了。”讀書至此怎能不掩卷感慨！誠可謂“哥德爾的事跡發人深省，其意境超乎學院天地，實在得有一種能顧盼幾個世紀的歷史眼光才行”。
作者王浩先生是著名的數理邏輯學家，早年在西南聯大時就自學過哥德爾的初等邏輯完全性證明。後來與晚年的哥德爾頻繁往來，廣泛交談，親筆錄下為數可觀的口頭資料。在他的筆下一個栩栩欲活、個性豐滿的哥德爾躍然於紙上。在書中我們看到哥德爾生活的簡樸、對榮華富貴的淡漠、做學問的堅韌刻苦、尋求根本原理的矢志不移和鍥而不捨。
哥德爾處在另一時代，另一環境，他的專深研究也難免讓常人覺得高不可攀。那么《哥德爾》對當代青年的意義何在呢？王浩先生“中譯本序”的一段話是很有意義的：我想，譯者的苦心是盼望一些有識有志的青年人拿他當一面鏡子，學會淨化自我，學會在荊棘叢中踏出自己該走的路，不論其所愛好的是藝術還是科學、是文科還是理科。哥德爾成功的事實還提醒我們，一個人天賦再高，想獲得一點真重要真耐久的成績，必須對外界誘惑保持清醒的頭腦，永不懈怠地埋頭苦幹，靠眾人的喝彩、神秘的靈感或不誠實的手段根本做不到。王浩先生1995年5月病逝於紐約。當我們閱讀《哥德爾》的事跡，回味王浩先生的忠告，必然會有一種超然的感悟。
