高等數學自學及解題指導(第二版) 內容簡介
本書是為配契約濟大學函授數學教研室編寫的《高等數
學》（第二版）教材而重新修改
的自學輔導書，書中對各章的
基本概念與定理作了總結，對
解題思路作了分析，並對不同
解題方法作了比較；書中列舉
的例題豐富而又典型，各例題
除給出詳解外，還儘量指出應
注意的解題關鍵步驟及易犯錯
誤，輔導讀者加深理解所學的
課程，開拓思路，減少自學及
解題困難。
本書可作為工科各類成人
教育的輔導教材，也可作為工
科類大學生及工程技術人員自
學高等數學的參考資料。
片斷：
確定函式的定義域，意味著在實數範圍內找出使函式有意義
的自變數的取值範圍.正確解題的關鍵在於：
（1）搞清五類基本初等函式的定義域，例如偶次方根被開方
數應為非負數；對數函式的真數要大於零；反三角正弦、餘弦的定
義域是區間［－1，1］等等；
（2）明確分式函式的分母不能等於零；
（3）熟練掌握解不等式（組）的方法（要認真複習中學階段的
有關知識）；
（4）對實際問題，應考慮到問題本身是否有意義.
二、反函式、複合函式、初等函式
反函式的定義設函式y＝f（x）的定義域是實數集D，值域
是實數集W.若對於任一y∈W，通過關係式y＝f（x），都有唯一
確定的x∈D與之對應，則稱這樣確定的函式x＝ψ（y）為函式
y＝f（x）的反函式原來的函式y＝f（x）稱為直接函式.
對於反函式x＝ψ（y），習慣上仍寫作y＝ψ（x）.
複合函式如果給定兩個函式y＝f（u）和u＝ψ（x），且
u＝ψ（x）的值域全部或部分地包含在y＝f（u）的定義域內，那么
通過u的聯繫，y也是x的函式，這個函式就稱作是由函式
y＝f（u）及u＝ψ（x）複合而成的複合函式，記作y＝f［ψ（x）］，其
中u稱為中間變數.
高等數學自學及解題指導(第二版) 本書前言
前言許多函授生及廣大的自學者在自學《高等數學》的過程中，由
於缺乏老師的直接指導和較好的自學參考書，往往會遇到不少的
困難，如學了理論不會用於解題，或者發現解題有錯誤，但又不知
錯誤的原因何在，等等.為此，我們根據《高等工科院校成人教育，
“高等數學”教學基本要求》的要求，在我校多年來積累的函授教學
輔導資料的基礎上，經過提煉、加工和充實後而編成此書，奉獻給
廣大函授生及立志自學成才的自學者.
本書的核心是解題方法，側重於幫助讀者找到解題的鑰匙.
為使本書成為廣大自學者的良師益友，使讀者掌握高等數學
中的基本內容、基本概念、基本解題技巧，我們在編寫時，除了對各
章、節的重要內容作必要的總結歸納，對例題儘量作詳細解答外，
還著重指出應該如何分析問題及解題中容易出現的錯誤.考慮到
不同層次的讀者的需要，書中也適當地選入了一些較難的例題，介
紹了一些超出教學基本要求的內容和方法，這些都加上了“△”記
號.
本書分析說理比較透徹，解題思路比較廣闊，例題類型比較齊
全，綜合套用方面也有所兼顧，可作為使用我校出版的函授《高等
數學》教材的自學參考書，也可作為各類成人教育及全日制大學的
工科專業學生，或其他自學者，學習“高等數學”課程的參考書.
本書由我校函授數學教研室部分教師合作編寫.其中第一、
二、三、卜章由郭景德執筆；第四、五、六章由徐�a青執筆；第七、八
章由劉浩榮執筆；第九章由周葆一執筆；第十一、十二章由周憶行
執筆.
談祝多副教授詳細審閱了本書的全稿，並提出了許多指導性
的意見.函授數學教研室的全體老師對本書的編寫工作也都給以
熱情的支持和幫助.我們在此一併表示衷心的感謝.由於我們的水
平所限，書中難免有許多不足或錯誤之處，懇請讀者批評指正.
編者
1988年10月於同濟
高等數學自學及解題指導(第二版) 本書目錄
bsp;第二版前言前言
第一章函式
1.1函式的概念
一、函式的定義二、反函式、複合函式、初等函式
1.2函式的幾種特性
第二章極限與連續
2.1極限的概念
一、極限定義的使用二、有關極限的幾個重要定理
2.2極限的計算
一、極限的運算法則二、兩個重要極限三、無窮
小的性質四、兩個極限存在的準則五、冪指函
數的極限六、已知極限值求極限中的某些常數
2.3連續
一、連續的定義和充要條件，間斷點的分類二、閉區
間上連續函式的性質
2.4證題方法綜述
第三章導數和微分
3.1導數的概念
一、利用導數的定義求極限二、利用定義和充要條
件研究函式的可導性三、綜合舉例
3.2求導方法
一、導數的四則運算二、複合函式的導數三、
高階導數四、隱函式的導數五、由參數方程
所確定的函式的導數六、冪指函式的導數和對數求
導法七、導數的幾何、物理意義及其套用
3.3微分
一、微分的定義和計算二、微分的套用
第四章中值定理與羅必塔法則
4.1羅爾、拉格朗日、柯西中值定理
一、定理條件的驗證二、定理的基本套用三
綜合舉例
4.2羅必塔法則
一、羅必塔法則二、其他未定式
4.3泰勒公式
一、求函式的泰勒公式二、利用泰勒公式作近似計
算三、用泰勒公式證明不等式四、用泰勒
公式求極限
第五章導數的套用
5.1利用導數研究函式的性態
一、函式的單調性二、函式的極值與最值
三、函式的凹性和拐點四、函式圖形的描繪
五、曲線的曲率
5.2綜合例題
第六章不定積分
6.1最簡單的不定積分
一、不定積分的概念和基本性質二、最簡單的不定
積分的計算
6.2換元積分法和分部積分法
一、換元積分法二、分部積分法三、換元積
分法與分部積分法的綜合套用
6.3有理函式的積分
6.4三角函式有理式的積分
6.5簡單的無理函式的積分
6.6綜合舉例
第七章定積分
7.1定積分的概念和性質
一、定義和它的套用二、性質
7.2定積分的計算方法
一、基本計算方法二、分段函式的積分三
特殊類型的積分
7.3積分上限（下限）的函式及其導數
7.4廣義積分
一、函式在無窮區間上的積分二、積分區間內或區
間端點被積函式有無窮間斷點的積分三、積分區
間為無窮與積分區間上被積函式有無窮間斷點的混合情
況
7.5綜合舉例
第八章定積分的套用
8.1元素法
8.2定積分在幾何上的套用
一、求平面圖形的面積二、體積三、平面曲
線的弧長
8.3定積分在物理、力學上的套用
一、變力沿直線所作的功二、水壓力三、其
他套用四、平均值和均方根
第九章向量代數
9.1向量的概念及其幾何運算
一、向量的概念二、向量的幾何運算及其運算規
律
9.2向量的坐標表示式
一、向量的投影二、向量的坐標表示式三
向量的線性運算的坐標表示
9.3兩向量的數量積與向量積
一、兩向量的數量積二、兩向量的向量積
三、兩向量的夾角、垂直與平行條件
第十章空間解析幾何
10.1空間平面及其方程
一、平面方程二、兩平面之間的相互關係
三、點到平面的距離
10.2空間直線及其方程
一、空間的直線方程二、兩直線間的關係
三、直線與平面的夾角
10.3空間的曲面與曲線
一、空間的曲面及其方程二、空間的曲線及其方程
三、空間曲線在坐標面上的投影曲線的方程
第十一章多元函式微分法及其套用
11.1多元函式的基本概念
一、二元函式的定義二、二元函式的極限
三、二元函式的連續性
11.2偏導數
一、偏導數的定義二、偏導數的求法三、偏
導數的幾何意義四、偏導數存在與函式連續性的
關係五、方嚮導數與梯度六、高階偏導數
11.3全微分及其套用
一、全微分二、全微分的套用
11.4多元複合函式的導數
一、多元複合函式的求導法則（鏈式法則）二、幾種
推廣的情形三、利用多元複合函式求導法則求高
階偏導數
11.5隱函式求導法
11.6偏導數的幾何套用
一、空間曲線的切線與法平面二、空間曲面的切平
面與法線
11.7多元函式極值問題的解法
一、二元函式無條件極值的求法二、最大值與最小
值的求法三、二元函式條件極值的求法
第十二章重積分
12.1二重積分的概念與性質
一、二重積分的概念二、二重積分的性質
12.2利用直角坐標計算二重積分
12.3利用極坐標計算二重積分
12.4二重積分換元法
12.5三重積分的概念及其在直角坐標系中的計算法
一、三重積分的概念二、三重積分在直角坐標系中
的計算方法
12.6利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分
一、利用柱面坐標計算三重積分二、利用球面坐標
計算三重積分
12.7重積分的套用
一、曲面的面積二、質量三、靜力矩和重心
四、轉動慣量
12.8含參變數的積分
第十三章曲線積分與曲面積分
13.1對弧長的曲線積分
一、對弧長的曲線積分的定義和性質二、對弧長的
曲線積分的計算方法
13.2對坐標的曲線積分
一、對坐標的曲線積分的定義和性質二、對坐標的
曲線積分的計算方法三、兩類曲線積分之間的聯
系
13.3格林公式及其套用
一、格林公式二、與路徑無關的曲線積分
13.4對面積的曲面積分
一、對面積的曲面積分的定義和性質二、對面積的
曲面積分的計算方法
13.5對坐標的曲面積分
一、對坐標的曲面積分的定義和性質二、對坐標的
曲面積分的計算方法三、兩類曲面積分之間的聯
系
13.6高斯公式和斯托克斯公式
一、高斯公式和斯托克斯公式二、與曲面無關
的曲面積分和與曲線無關的曲線積分三、場論
初步
13.7曲線積分和曲面積分的套用
一、對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分的套用
二、對坐標的曲線和曲面積分的套用
第十四章常數項級數與冪級數
14.1常數項級數的概念和性質
一、常數項級數的概念二、級數的基本性質
三、級數收斂的必要條件
14.2正項級數的審斂法
一、比較審斂法二、比值審斂法［達朗貝爾
（D′Alembert）判別法］三、根值審斂法［柯西
（Cauchy）判別法］
14.3任意項級數的審斂法
一、交錯級數審斂法［萊布尼茨（Leibniz）準則］二
任意項級數的收斂性――絕對收斂與條件收斂
14.4函式項級數的概念與冪級數
一、函式項級數的概念二、冪級數及其收斂性
三、冪級數的運算
14.5把函式展開成冪級數
一、泰勒級數二、把函式展開成冪級數
14.6函式的冪級數展開式的套用
第十五章傅立葉級數
15.1周期為2π的函式的傅立葉級數
一、三角級數及三角函式系的正交性二、周期為
2π的函式的傅立葉級數及其收斂性三、周期為2π
的函式展開為傅立葉級數四、定義在［－π，π］上的
函式展開為傅立葉級數
15.2正弦級數和餘弦級數
一、正弦級數和餘弦級數二、定義在［0，π］上的函
數展開為正弦（餘弦）級數
15.3周期為2l的周期函式的傅立葉級數
第十六章微分方程
16.1微分方程的基本概念
16.2一階微分方程
一、可分離變數方程和齊次方程二、線性微分方程
與貝努里方程三、全微分方程
16.3可降價的高階微分方程
16.4二階線性微分方程
一、二階線性微分方程及其解的結構二、二階常系
數線性微分方程三、可化為常係數線性方程的方
程――歐拉方程四、冪級數解法與常數變易法
16.5微分方程套用舉例
一、物理問題套用二、幾何問題套用三、微
小量分析法套用
