Cantor集

在數學中，康托爾集，由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入（但由亨利·約翰·史蒂芬·史密斯在1875年發現），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。

在數學方面，康托集是由德國數學家康托於1883年引入的（但在1875年就由Henry John Stephen Smith發現了），它是一個取自簡單直線段上的點集，它有若干非凡而又深刻的性質。通過對它的思考，康托和其他助手奠定了現代一般拓撲學基礎。雖然康托自己用抽象的方法定義了這個集合，但一般而言，現代最流行的構造是康托三分集，它是通過將一條線段的中間部分去掉而獲得的。康托自己只是順便提及了三重構造，作為無處稠密的完備集的一般例子。
三分集的構造
康托三分集是由重複刪除直線段中間的三分之一開區間而創造出來的。先從區間[0，1]中間刪除開區間(1/3, 2/3)，留下兩邊線段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。下一步，刪除留下的線段的各自的三分之一中間段，剩下四條直線段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。無限重複這一過程，則第n個集合是合是screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>。康托三分集包含區間[0, 1]內在每一步沒被刪除的所有的點。
下面的插圖表示的是被操作六步的結果。
screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0> 康托集的被扣下去的部分是等比級數，其長度
screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0> 這樣，康托集的總長度為1-1=0。
（直觀地可以想像，它是一個基於3進制的幾何級數，所以0.2222…無限循環接近於1，就像十進制中0.9999…無限循環接近於1一樣。）
計算表明康托集不包括任何非零的長度。事實上，令人驚訝的是，它可能在所有中間被扣掉的部分之和就等於它的最初的長度。然而，仔細觀察這個過程卻有很重要的東西被剩下，因為重複地消除只是中間的1/3開集（這個集合不包含它的端點）。從最初的[0，1]線段中除去(1/3, 2/3)，而兩個端點1/3和 2/3被留下。隨後的操作，不移動這些端點，因為被移除的部分總是在剩餘部分的內部。所以康托集是非空的，而事實上，它包括無限多個點。
Cantor三分集一般用P。表示，Cantor三分集的余集一般用G。表示，Cantor三分集的Lebesgue測度為0