龐加萊是法國數學家，1854年4月29日生於南錫，1912年7月17日卒於巴黎。
龐加萊的父母親都出身於法國的顯赫世家，幾代人都居住在法國東部的洛林。龐加萊從小就顯出超常的智力，他智力的重要來源之一是遺傳。他的雙親智力都很高，他的雙親又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破崙政權下的聖康坦部隊醫院供職，1817年在魯昂定居，先後生下兩個兒子，大兒子萊昂·龐加萊即為龐加萊的父親。
龐加萊的父親是當地一位著名醫生，並任南錫大學醫學院教授。他的母親是一位善良、才華出眾、很有教養的女性，一生的心血全部傾注到教育和照料孩子身上。龐加萊叔叔的兩個兒子是法國政界的著名人物：雷蒙·龐加萊於1913至1920年間任法國總統；呂西·龐加萊曾任法國民眾教育與美術部長，負責中等教育工作。
龐加萊的童年主要接受母親的教育。他的超常智力使他成為早熟的兒童，不僅接受知識極為迅速，而且口才也很流利。但不幸的事發生了：五歲時患了一場白喉病、九個月後喉頭壞了，致使他的思想不能順利用口頭表達出來，並成為一位體弱多病的入。儘管如此，龐加萊還是樂意玩耍遊戲，喜歡跳舞。當然，劇烈的運動他是無法進行。
龐加萊特別愛好讀書，讀書的速度快得驚人，而且能對讀過的內容迅速、準確、持久地記住。他甚至能講出書中某件事是在第幾頁第幾行中講述的！龐加萊還對博物學發生過特殊的興趣，《大洪水前的地球》一書據說給他留下了終身不忘的印象。他對自然史的興趣也很濃，歷史、地理的成績也很優異。他在兒童時代還顯露了文學才華，有的作文被老師譽為“傑作”。
龐加萊l862年進入南錫中學讀書。初進校時雖然他的各科學習成績十分優異，但並沒有對數學產生特殊的興趣。對數學的特殊興趣大約開始於15歲，並很快就顯露了非凡才能。從此，他習慣於一邊散步，一邊解數學難題。這種習慣一直保持終身。
1870年7月19日爆發的普法戰爭使得龐加萊不得不中斷學業。法國被戰敗了，法國的許多城鄉被德軍洗劫一空並被德軍占領。為了了解時局，他很快學會了德文。他通過親眼看到的德軍的暴行，使他成了一個熾熱的愛國者。
1871年3月18日，巴黎無產者舉行了武裝起義，普法的反動派又很快聯合起來撲滅了革命烈火，龐加萊又繼續上學了。1872年龐加萊兩次榮獲法國公立中學生數學競賽頭等獎，從而使他於1873年被高等二科學校作第一名錄取。據說，在南錫中學讀書時，他的老師就譽稱他為“數學巨人”。高等工科學校為了測試他的數學才能還特意設計了一套“漂亮的問題”，一方面要考出他的數學天才；另一方面也為了避免40年前伽羅瓦的教訓重演。
1875年～1878年，龐加萊在高等工科學校畢業後，又在國立高等礦業學校學習工程，準備當一名工程師。但他卻缺少這方面的勇氣，且與他的興趣不符。
1879年8月1日，龐加萊撰寫了關於微分方程方面的博士論文，獲得了博士學位。然後到卡昂大學理學院任講師，1881年任巴黎大學教授，直到去世。這樣，龐加萊一生的科學事業就和巴黎大學緊緊地聯在一起了。
龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學等許多領域，最重要的工作是在分析學方面。他早期的主要工作是創立自守函式理論(1878)。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名的級數構造了自守函式，並發現這種函式作為代數函式的單值化函式的效用。
1883年，龐加萊提出了一般的單值化定理(1907年，他和克貝相互獨立地給出完全的證明)。同年，他進而研究一般解析函式論，研究了整函式的虧格及其與泰勒展開的係數或函式絕對值的增長率之間的關係，它同皮卡定理構成後來的整函式及亞純函式理論發展的基礎。他又是多複變函數論的先驅者之一。
龐加萊為了研究行星軌道和衛星軌道的穩定性問題，在1881～1886年發表的四篇關於微分方程所確定的積分曲線的論文中，創立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點(焦點、鞍點、結點、中心)附近的性態。他提出根據解對極限環(他求出的一種特殊的封閉曲線)的關係，可以判定解的穩定性。
1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立“n體問題”獎，引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個的質量比另一個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎，還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他又進行了大量天體力學研究，引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。
龐加萊還開創了動力系統理論，1895年證明了“龐加萊回歸定理”。他在天體力學方面的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。
龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。他用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性，這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯運算元的特徵值問題，給出了特徵值和特徵函式存在性的嚴格證明。他在積分方程中引進復參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。
龐加萊對現代數學最重要的影響是創立組合拓撲學。1892年他發表勒第一篇論文，1895～1904年，他在六篇論文中建立了組合拓撲學。他還引進貝蒂數、撓係數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關連繫數矩陣等工具，藉助它們推廣歐拉多面體定理成為歐拉—龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。
龐加萊的思想預示了德·拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想，在“龐加萊的最後定理”中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。
龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數域上的代數幾何學》一書開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數並證明其分解定理。第一次引進代數中的左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理及坎貝爾—豪斯多夫公式。還引進李代數的包絡代數，並對其基加以描述，證明了龐加萊—伯克霍夫—維特定理。
龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有貢獻。他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群。
龐加萊的哲學著作《科學與假設》、《科學的價值》、《科學與方法》也有著重大的影響。他是約定主義的代表人物，認為科學公理是方便的定義或約定，可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，避開一切矛盾。在數學上，他不同意羅素、希爾伯特的觀點，反對無窮集合的概念，贊成潛在的無窮，認為數學最基本的直觀概念是自然數，反對把自然數歸結為集合論。這使他成為直覺主義的先驅者之一。
1905年，匈牙利科學院頒發一項獎金為l0000金克朗的鮑爾約獎。這個獎是要獎給在過去25年為數學發展作出過最大貢獻的數學家。由於龐加萊從1879年就開始從事數學研究，並在數學的幾乎整個領域都作出了傑出貢獻，因而此項獎又非他莫屬。
1906年，龐加萊當選為巴黎科學院主席；1908年，他被選為法國科學院院士，這是一位法國科學家所能達到的最高地位。1908年龐加萊因前列腺增大而未能前往羅馬，雖經義大利外科醫生作了手術，使他能繼續如前一樣精力充沛地工作，但好景不長。
1912年春天，龐加萊再次病倒了，7月9日作了第二次手術；7月l7日在穿衣服時，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，終年僅58歲!
龐加萊被公認是19世紀後四分之一和二十世紀初的領袖數學家，是對於數學和它的套用具有全面知識的最後一個人。
羅素認為，本世紀初法蘭西最偉大的人物就是昂利·龐加萊。阿達馬這位曾在函式論、數論、微分方程、泛函分析、微分幾何、集合論、數學基礎等領域作出過傑出貢獻的法國數學家認為，龐加萊“整個地改變了數學科學的狀況，在一切方向上打開了新的道路。”
