高階邏輯
正文
又稱廣義謂詞邏輯。它是一階邏輯（見一階理論及其元邏輯）的推廣。在一階邏輯中，量詞只能用於個體變元，即只有個體約束變元，並且只有個體變元能作謂詞變元的主目(見謂詞邏輯)。這樣就限制了一階邏輯的語言的表達能力。如果去掉一階邏輯中的上述限制，命題變元和謂詞變元也能作約束變元，即受量詞約束，並且作謂詞變元的主目，以此構造起來的邏輯系統就是高階邏輯。它包括二階邏輯、三階邏輯……以至無窮階邏輯。二階邏輯 一階邏輯的一個很自然的推廣是二階邏輯。修改一階邏輯中與量詞有關的形成規則：如果A(α)是合式公式,α是自由變元（個體變元、命題變元或謂詞變元），則凬αA(α)和ヨαA(α)是合式公式；同時,確定適當的公理和變形規則，所得到的系統就是一個二階邏輯（二階謂詞演算）。例如，凬X 【F(x)∨塡F(x)】是一階邏輯中的合式公式,凬F凬x【F(x)∨塡F(x)】就是一個二階邏輯的合式公式，它表示凬x【F(x)∨塡F(x)】對一切性質 F都成立。二階邏輯具有比一階邏輯更強的表達能力。例如，對於數學歸納原則:“如果一公式對數0成立，並且如果它對某一個數成立則對該數的後繼也成立，那末這個公式就對所有的（自然）數成立”，就不能在一階邏輯陳述的算術理論中，用一個公式表達。而在二階邏輯中，由於有了謂詞量詞，就可以用一個公式把該數學歸納原則表示為：
凬F【F(0)∧凬x(F(x)→F(x+1))→凬xF(x)】。
簡單類型論 進一步推廣二階邏輯，可以構造出三階邏輯、四階邏輯等等，而對於每一自然數 n，可以構造 n階邏輯。三階邏輯是在二階邏輯中引進謂詞的謂詞。在一階和二階邏輯中，謂詞表示個體的性質或個體間的關係，以個體常元（個體的名字）或個體變元作主目。這樣的謂詞稱為一層謂詞；一階和二階邏輯中的謂詞變元稱為一層謂詞變元。有的謂詞不是表示個體的性質或個體間的關係，而是表示某個謂詞的性質或關係。例如，對一個關係 R，我們說 R是對稱的，即如果R(x,y)，則R(y,x);或者說是傳遞的，即如果R(x,y)且R(y,z)，則R(x,z)。而這種對稱性、傳遞性等都是關於關係的性質。用sym(R)、tr(R)表示關係R是對稱的、傳遞的，而sym和tr都以一層謂詞作主目。主目中包括一層謂詞（謂詞變元）的謂詞（謂詞變元）稱為二層的。一個包括二層謂詞變元，但二層謂詞變元只作為自由變元出現的邏輯系統，就是三階邏輯。在三階邏輯中，不但引進二層謂詞變元，而且還要區別謂詞變元（一層的、二層的）的不同的型。個體變元的型為i;一層謂詞變元F(x)的型為(i),G(x,y)的型為(i,i)；二層謂詞sym(R),其主目R的型為(i,i),sym的型為［(i,i)］;二層謂詞變元H［G(x,y),i)］的型為［(i,i),i)］,等等。對三階邏輯的形成規則，不但要考慮到新增加的二層謂詞變元，還要根據謂詞變元的型的區分，對二階邏輯的形成規則加以修改，並確定適當的公理和變形規則。如果修改三階邏輯的形成規則，而且允許二層謂詞變元也作約束變元，並且確定適當的公理和變形規則,就得到四階邏輯。類似地,還可以引入三層謂詞變元、四層謂詞變元等，構造五階邏輯、六階邏輯，等等。這樣，就可以構造出所有有窮階邏輯。簡單類型論就是ω階邏輯，它是把所有有窮階邏輯總匯在一起的系統。簡單類型論的公理，除了有一階邏輯、二階邏輯等的公理外，還包括另外兩條公理，即外延公理和選擇公理。這兩條公理與公理集合論中的外延公理和選擇公理相當。
一階邏輯與高階邏輯 一階邏輯具有完全性，即系統中的普遍有效的公式都是系統中可證明的。這是一階邏輯的一個重要特徵。此外，一階邏輯還有兩個重要的定理,即緊緻性定理和勒文海姆-司寇倫定理（見司寇倫定理）。一階邏輯還有一個區別於高階邏輯的重要性質，即一階邏輯是在運算塡,∧,ョ下封閉的唯一能夠滿足緊緻性定理和勒文海姆-司寇倫定理的邏輯。 雖然一階邏輯的表達能力是受限制的，但也已很強了，特別是有了公理集合論以後，用一階邏輯的語言可以陳述當今數學的全部分支。因此，有許多邏輯學家認為，除一階邏輯而外無需研討高階邏輯。然而，用一階邏輯陳述許多相當簡單的定義和證明顯得十分複雜，而通過高階邏輯陳述這些定義和證明則要簡單得多。儘管通過集合論可以把高階邏輯歸納到一階邏輯，但卻造成定義和證明的大大複雜化。高階邏輯的表達力和易推導性比一階邏輯強有力得多。因此，在數理邏輯中高階邏輯仍是有生命力的。
高階邏輯的一個重大不足是沒有完全性，它的任何公理系統，都不能證明系統中的全部普遍有效公式。
