古代計數籌碼
“運算元”是古代計數用的籌碼。微積分里的符號
狹義的運算元是表示一種對函式的運算的符號。如同普通的運算符號作用於數後可以得到新的數那樣，一個運算元作用於一個函式後可以根據一定的規則生成一個新的函式。常見的運算元有D(微分運算元)，∫(不定積分運算元)，grad(梯度運算元)，∇(散度運算元),△(拉普拉斯運算元)等。它們的定義分別為：
D(f) = f'
∫(f) = F，F為f的原函式
grad(f) = [df/dx1,df/dx2,...,df/dxn]，其中f=f(x1,x2,...,xn)為n元標量函式
∇f = grad·f = df1/dx1+df2/dx2+...+dfn/dxn，其中f=(f1,f2,...,fn)為n元n維向量函式
△f =d^2f/dx1^2+d^2f/dx2^2+...+d^2f/dxn^2。
從上面定義可以看出，狹義的運算元實際上是指從一個函式空間到另一個函式空間（或它自身）的映射。
廣義的運算元的定義只要把上面的空間推廣到一般空間，可以是向量空間。賦范向量空間，內積空間，或更進一步，Banach空間，Hilbert空間都可以。
運算元還可分為有界的與無界的，線性的與非線性的等等類別。
運算元的特徵值
對於一個輸入和輸出函式類型相同的運算元T，滿足 T(f) = kf 的k稱為T的特徵值，相應的f稱作T關於k的特徵函式。可交換運算元
對兩個輸入和輸出函式類型相同的運算元T1和T2，如果 T1T2(f) = T2T1(f) 稱T1和T2為可交換的，可交換意味著T1和T2擁有同樣的特徵函式（但對應的特徵值不同）。心理學
在心智技能形成的第一階段，即認知階段，要了解問題的結構，即起始狀態，要到達的目標狀態，從起始狀態到目標狀態所需要的步驟。每一個步驟就是一個運算元。
