近世代數
抽象代數即近世代數。
代數〔Algebra〕是數學的其中一門分支，當中可大致分為初等代數學和抽象代數學兩部分。
初等代數學是指19世紀上半葉以前發展的方程理論，主要研究某一方程〔組〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質等問題。
法國數學家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的思想的數學家，一般稱他為近世代數的創始人。他使代數學由作為解方程的科學轉變為研究代數運算結構的科學，即把代數學由初等代數時期推向抽象代數即近世代數時期。
抽象代數學對於全部現代數學和一些其它科學領域都有重要的影響。抽象代數學隨著數學中各分支理論的發展和套用需要而得到不斷的發展。經過伯克霍夫、馮.諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數學的地位。而自20世紀40年代中葉起，作為線性代數的推廣的模論得到進一步的發展並產生深刻的影響。泛代數、同調代數、範疇等新領域也被建立和發展起來。
中國數學家在抽象代數學的研究始於30年代。當中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。
現代數學的基礎課程正在更新。50年代數學系的教學計畫，以“高等微積分”、“高等代數”、“高等幾何”為主體。時至今日，人們認為光靠這“老三高”已不夠用了，應該發展“新三高”，即抽象代數、拓撲學和泛函分析。現代數學理論是由這三根支柱撐著的。現在，我們來追尋它們形成和發展的歷史足跡，並從這一側面窺視20世紀數學的特徵。
一、抽象代數
抽象代數在上一個世紀已經有了良好的開端，伽羅瓦在方程求根中就蘊蓄了群的概念。後來凱利對群作了抽象定義(Cayley，1821~1895)。他在1849年的一項工作里提出抽象群的概念，可惜沒有引起反響。“過早的抽象落到了聾子的耳朵里”。直到1878年，凱利又寫了抽象群的四篇文章才引起注意。1874年，挪威數學家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程時，發現某些微分方程解對一些連續變換群是不變的，一下子接觸到連續群。1882年，英國的馮·戴克（von Dyck,1856~1934）把群論的三個主要來源—方程式論，數論和無限變換群—納入統一的概念之中，並提出“生成元”概念。20世紀初給出了群的抽象公里系統。
群論的研究在20世紀沿著各個不同方向展開。例如，找出給定階的有限群的全體。群分解為單群、可解群等問題一直被研究著。有限單群的分類問題在20世紀七、八十年代才獲得可能是最終的解決。伯恩賽德（Burnside，1852~1927年）曾提出過許多問題和猜想。如1902年問道一個群G是有限生成且每個元素都是有限階，G是不是有限群？並猜想每一個非交換的單群是偶數階的。前者至今尚未解決，後者於1963年解決。
舒爾（Schur，1875~1941）於1901年提出有限群表示的問題。群特徵標的研究由弗羅貝尼烏斯首先提出。龐加萊對群論抱有特殊的熱情，他說：“群論就是那摒棄其內容而化為純粹形式的整個數學。”這當然是過分誇大了。
抽象代數的另一部分是域論。1910年施泰尼茨（Steinitz，1871~1928）發表《域的代數理論》，成為抽象代數的重要里程碑。他提出素域的概念，定義了特徵數為P的域，證明了每個域可由其素域經添加而得。
環論是抽象代數中較晚成熟的。儘管環和理想的構造在19世紀就可以找到，但抽象理論卻完全是20世紀的產物。韋德伯恩（Wedderburn，1882~1948）《論超複數》一文中，研究了線形結合代數，這種代數實際上就是環。環和理想的系統理論由諾特給出。她開始工作時，環和理想的許多結果都已經有了，但當她將這些結果給予適當的確切表述時，就得到了抽象理論。諾特把多項式環的理想論包括在一般理想論之中，為代數整數的理想論和代數整函式的理想論建立了共同的基礎。諾特對環和理想作了十分深刻的研究。人們認為這一總結性的工作在1926年臻於完成，因此，可以認為抽象代數形成的時間為1926年。范德瓦爾登根據諾特和阿廷的講稿，寫成《近世代數學》一書，（1955年第四版時改名為《代數學》），其研究對象從研究代數方程根的計算與分布進到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構。這就發生了質變。由於抽象代數的一般性，它的方法和結果帶有基本的性質，因而滲入到各個不同的數學分支。范德瓦爾登的《代數學》至今仍是學習代數的好書。人們從抽象代數奠基人——諾特、阿廷等人燦爛的成果中吸取到了營養，從那以後，代數研究有了長足進展。
抽象代數
抽象代數又稱近世代數，它產生於十九世紀。
抽象代數是研究各種抽象的公理化代數系統的數學學科。由於代數可處理實數與複數以外的物集，例如向量、矩陣超數、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數學家將個別的演算經由抽象手法把共有的內容升華出來，並因此而達到更高層次，這就誕生了抽象代數。抽象代數，包含有群論、環論、伽羅瓦理論、格論、線性代數等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。
被譽為天才數學家的伽羅瓦（1811-1832）是近世代數的創始人之一。他深入研究了一個方程能用根式求解所必須滿足的本質條件，他提出的“伽羅瓦域”、“伽羅瓦群”和“伽羅瓦理論”都是近世代數所研究的最重要的課題。伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開闢了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。
1843年，哈密頓發明了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。第二年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數。1857年，凱萊設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數(也叫近世代數)的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定(與其餘假定是兼容的)，就能研究出許多種代數體系。
1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體系的研究，開創了抽象代數學。
有一位傑出女數學家被公認為抽象代數奠基人之一，被譽為代數女皇，她就是諾特, 1882年3月23日生於德國埃爾朗根，1900年入埃朗根大學，1907年在數學家哥爾丹指導下獲博士學位。
諾特的工作在代數拓撲學、代數數論、代數幾何的發展中有重要影響。1907-1919年，她主要研究代數不變式及微分不變式。她在博士論文中給出三元四次型的不變式的完全組。還解決了有理函式域的有限有理基的存在問題。對有限群的不變式具有有限基給出一個構造性證明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不變式，在哥廷根大學的就職論文中，討論連續群(李群)下不變式問題，給出諾特定理，把對稱性、不變性和物理的守恆律聯繫在一起。
1920~1927年間她主要研究交換代數與「交換算術」。1916年後，她開始由古典代數學向抽象代數學過渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年寫出的<<整環的理想理論>>是交換代數發展的里程碑。建立了交換諾特環理論，證明了準素分解定理。1926年發表<<代數數域及代數函式域的理想理論的抽象構造>>，給戴德金環一個公理刻畫，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要條件。諾特的這套理論也就是現代數學中的“環”和“理想”的系統理論，一般認為抽象代數形式的時間就是1926年，從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分布，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。諾特當之無愧地被人們譽為抽象代數的奠基人之一。
1927－1935年，諾特研究非交換代數與「非交換算術」。她把表示理論、理想理論及模理論統一在所謂“超復系”即代數的基礎上。後又引進交叉積的概念並用決定有限維枷羅瓦擴張的布饒爾群。最後導致代數的主定理的證明，代數數域上的中心可除代數是循環代數。
諾特的思想通過她的學生范．德．瓦爾登的名著<<近世代數學>>得到廣泛的傳播。她的主要論文收在<<諾特全集>>(1982)中。
1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數系統的理論和布爾巴基學派；1955年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。
到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要德若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。
