皮亞諾曲線的發現
皮亞諾（Peano）曲線是一條能夠填滿正方形的曲線。
皮亞諾曲線
皮亞諾曲線
皮亞諾曲線
皮亞諾曲線1890年，義大利數學家皮亞諾（Giuseppe Peano）發現能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線。皮亞諾對區間上的點和正方形上的點的對應作了詳細的數學描述。實際上，正方形的這些點對於 ,可規定兩個連續函式 和 ，使得x和y取屬於單位正方形的每一個值。 後來，希爾伯特作出了這條曲線。
維數的認識
在傳統概念中，曲線的維數是1維， 正方形是2維。按照通常的理解，沒有寬度的一維的曲線是不可能填滿2維的方格的。
皮亞諾曲線說明我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新考察維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中， 維數可以是分數的叫做分數維度。
此外皮亞諾曲線是連續的但處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線， 就必須加上可導的條件，以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。
集合論觀點
皮亞諾曲線
皮亞諾曲線 皮亞諾曲線
皮亞諾曲線與 均為不可數集，且基數均為連續統基數。對於 的方塊 ,存在一個一一映射
皮亞諾曲線同理存在一個一一映射
皮亞諾曲線 皮亞諾曲線 皮亞諾曲線由於 與 基數相同，故存在一個一一映射
皮亞諾曲線
皮亞諾曲線但該映射不一定是連續的。Peano曲線給出了一個 的連續滿射，一般來說，一維的曲線是不可能填滿2維的方格的。但是皮亞諾曲線恰恰給出了可行的例子。
數學分類導航
| 數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。簡單地說，是研究數和形的科學。由於生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，並由用手指或實物計數發展到用數字計數。基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。 | |||
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