概念
定義一
設G是一個平面圖，通過刪除G的一條邊(x，y)，並且添加一個新結點a和兩條邊(x,a)與(a,y)(所獲得的任何圖也是平面圖)。這樣的操作稱為初等細分。若可以從相同的圖G通過一系列初等細分來獲得圖G₁和G₂，稱G₁和G₂是同胚的(homeomorphism)。
如圖1、2、3所示的三個圖G₁、G₂和G₃都是同胚的。
圖1
圖2
圖3定義二
設G=(V，E)是一個圖，e=uv是圖G的一條邊，w不是G的頂點，則當增加二度點w且用uw和vw代替邊e時，就稱邊e被細分．若圖H是由G經過一系列邊的細分而得到，則稱H為圖G的剖分圖(或細分圖)．若兩個圖都是某一個圖的剖分圖，則這兩個圖稱為同胚的(或二度頂點內同胚)．簡單圖G收縮邊wuv是將G的邊uv去掉，並將頂點u和v合併成一個新頂點．圖G可收縮成圖H．是指G可經過一系列的邊收縮而變成H．如果H是G的剖分圖，則G一定是H通過收縮一系列2度點所得到的收縮圖．
相關定理
細分
細分Kuratowski定理 圖G是可平面的，若且唯若 和 的任何細分圖都不是G的子圖。
細分 細分根據對細分圖的描述，我們知道不僅 和 是不允許作為子圖出現的，而且它們的任何邊細分圖也是不允許的子圖，記住這一點很重要：違禁子圖不應被歸納出來。如果它們的確出現了，G就是不可平面的。
例題
例1 證明Peterson圖是不可平面的。
細分 細分 細分 細分 細分 細分證明 我們首先嘗試使用定理“如果G是n結點(n≥3)q邊的可平面圖，則q≤3n一6”。Peterson圖有q=15條邊和n=10個結點。代入定理中的不等式，我們得到15≤3(10)-6=24。非常遺憾，這條定理不起作用。滿足這個不等式並不能保證其可平面性，但是如果Peterson圖沒能滿足這個不等式，我們就能得出它是不可平面的。所以我們得換用另一個工具——"圖G是可平面的，若且唯若 和 的任何細分圖都不是G的子圖"。由於 的任何細分圖都有度為4的結點，且Peterson圖是3一正則圖，所以我們只需要尋找 的細分圖。圖4(a)是有標記Peterson圖，(b)是它的子圖同時也是 的細分圖，我們將這個子圖重畫為(c)以澄清它確實是 的子圖。因此，根據定理，Peterson圖的確是不可平面圖。
圖4例2 用Kuratowski定理說明圖5所示圖G不是平面圖。
圖5 細分
細分 細分 細分
細分 細分 細分 細分 細分解 將從圖G中找出一個同胚於 的子圖。圖G中結點a、b、f和e的度數均為4．刪去G中邊(a，b)與(f，e)得到圖G的一個子圖 ，且 中每個結點的度數均為3。再刪去圖 中邊(g，h)得到圖 ，圖 當然是圖G的子圖，且圖 中有兩個2度結點g與f，而圖 同胚於 ，因此圖G不是平面圖。
圖6
圖7
圖8