牛頓-萊布尼茲公式
牛頓(Newton)-萊布尼茨(Leibniz)公式和圖解下面就是該公式的證明全過程：我們知道，對黎曼(Riemann)可積函式f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為：b(上限)∫a（下限）f(x)dx現在我們把積分區間的上限作為一個變數，這樣我們就定義了一個新的函式：Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx但是這裡x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函式的自變數，但定積分中被積函式的自變數取一個定值是沒意義的。雖然這種寫法是可以的，但習慣上常把被積函式的自變數改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt接下來我們就來研究這個函式Φ(x)的性質：命題1：定義函式Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ(x)連續。當f(x)連續時，有Φ’(x)=f(x)。證明：讓函式Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函式增量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt，利用區間可加性，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt若m和M分別是f(x)在區間[a,b]上的最小值和最大值，利用定積分第一中值定理，存在[m,M]中的實數η，使得ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=η•Δx。進一步，當f(x)連續時存在x與x+Δx之間的常數ξ，使得η=f(ξ)。於是當Δx趨向於0時，ΔΦ趨向於0，即Φ(x)連續。若f(x)連續，那么當Δx趨向於0時，ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)，從而得出Φ’(x)=f(x)。命題2：若f(x)在[a,b]上連續，且F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函式，那么b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)。證明：我們已證得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)。注意到Φ(a)=0（積分區間變為[a,a]，故面積為0），所以F(a)=C，於是有Φ(x)=F(x)-F(a)，當x=b時，Φ(b)=F(b)-F(a)，這就得到了牛頓-萊布尼茨公式。注意：1)上述命題2中f(x)的連續性可以削弱為f(x)在[a,b]上Riemann可積，這個結論也稱為微積分第二基本定理，證明則相對複雜一些，需要從Riemann積分的定義出發來完成。2)f(x)是Riemann可積的不能保證f(x)的原函式F(x)存在，即不一定存在F(x)使得F'(x)=f(x)，例子是Riemann函式。3)F(x)在(a,b)處處有有界導數不能保證F'(x)在[a,b]Riemann可積，例子是Volterra函式。《牛頓——萊布尼茲公式的圖解》——該公式的幾何(意義）說明多數人對，牛頓——萊布尼茲公式，是有一些誤解的。還是先看一看該定理的內容：設函式f（x）是閉區間[a，b]上的連續函式，F(x)是它在閉區間[a，b]上的任意一個原函式，則有：∫a↑bf(t)dt=F（b）-F（a）
首先，許多人都僅知道，y=f(x)是積分上限函式s=φ(x)=∫a↑xf(t)dt(a≤x≤b)；在理解F(x)是它在閉區間[a，b]上的任意一個原函式，就出問題了！不會運用哲學的眼光看問題，並且對函式的理解也不到位。馬克思主義哲學指出：任何事物都與周圍的事物互相聯繫著。說F(x)是它在閉區間[a，b]上的任意一個原函式，是在一個特定的區間上[a，b]。可是在這個特定區間上，能夠滿足條件y=f(x)是其積分上限函式的函式多的是呢！而且它們的區間可以比[a，b]的要大一些。如圖S=F(x)=∫c↑bf(t)dt(c≤x≤b）所以說F(x)是它在閉區間[a，b]上的任意一個原函式，是指F(x)在閉區間[c，b]裡面的一部分子區間，即閉區間[a，b]。此圖，也可以做不定積分的一個直觀解釋。C是可以左右移動的，但不要超過a即（c≤a）
公式圖解