萊布尼茨公式[求導法則中的Leibniz公式]:萊布尼茨法則，也稱為乘積 -百科知識中文網

基本信息

不同於牛頓-萊布尼茨公式，萊布尼茨公式用於對兩個函式的乘積求取其高階導數，

一般的，如果函式u=u(x)與函式v=v(x)在點x處都具有n階導數，那么此時有

(uv) = u v+ nu v' + u v" + + u v + + uv

也可記為

利用面積推導

假設

且 f和 g在 x點可導。那么：

現在，以下的差

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

因此，(1)的表達式等於：

如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於：

現在：

因為當 w→ x時， f( x)不變；

因為 g在 x點可導；

因為 f在 x點可導；以及

因為 g在 x點連續（可導的函式一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於：

推導過程

如果存在函式u=u(x)與v=v(x)，且它們在點x處都具有n階導數，那么顯而易見的，

u(x) ± v(x) 在x處也具有n階導數，且 (u±v) = u ± v

至於u(x) × v(x) 的n階導數則較為複雜，按照基本求導法則和公式，可以得到：

(uv)' = u'v + uv'

(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''

(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''

…………

運用數學歸納法可證

(uv) = u v + nu v' + u v" + + u v + + uv

上式便稱為萊布尼茨公式（Leibniz公式）

區別

由於名稱相似，不少人將牛頓-萊布尼茨公式與萊布尼茨公式相混淆，事實上他們是兩個完全不同的公式。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學中的一個重要公式，它把不定積分與定積分相聯繫了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。其基本形式為

而萊布尼茨公式是導數計算中會使用到的一個公式，它是為了求取兩函式乘積的高階導數而產生的一個公式。

二者存在本質上的區別。

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