簡介
波粒二象性波粒二象性（英語：Wave-particleduality）是微觀粒子的基本屬性之一。指微觀粒子有時顯示出波動性（這時粒子性不顯著），有時又顯示出粒子性（這時波動性不顯著），在不同條件下分別表現為波動和粒子的性質。一切微觀粒子都具有波粒二象性。
數學關係
“波”和“粒子”的數學關係
物質的粒子性由能量E和動量p刻劃，波的特徵則由電磁波頻率ν和其波長λ表達，這兩組物理量的比例因子由普朗克常數h（h=6.626*10^-34J·s）所聯繫。
E=hv,E=mc^2聯立兩式，得：m=hv/c^2(這是光子的相對論質量，由於光子無法靜止，因此光子無靜質量）而p=mc，則p=hv/c（p為動量）
光子之波粒二象性-內部結構模型圖 歷史演變
波粒二象性在十九世紀末，日臻成熟的原子理論逐漸盛行，根據原子理論的看法，物質都是由微小的粒子—原子 構成。比如原本被認為是一種流體的電，由湯普孫 的陰極射線實驗證明是由被稱為電子的粒子所組成。因此，人們認為大多數的物質是由粒子所組成。而與此同時，波被認為是物質的另一種存在方式。波動理論已經被相當深入地研究，包括干涉和衍射等現象。由於光在托馬斯·楊的雙縫干涉實驗中，以及夫琅和費衍射中所展現的特性，明顯地說明它是一種波動。
不過在二十世紀來臨之時，這個觀點面臨了一些挑戰。1905年由阿爾伯特·愛因斯坦 研究的光電效應展示了光粒子性的一面。隨後，電子衍射被預言和證實了。這又展現了原來被認為是粒子的電子波動性的一面。這個波與粒子的困擾終於在二十世紀初由量子力學的建立所解決，即所謂波粒二象性。它提供了一個理論框架，使得任何物質在一定的環境下都能夠表現出這兩種性質。量子力學認為自然界所有的粒子 ，如光子、電子 或是原子，都能用一個微分方程，如薛丁格方程來描述。這個方程的解即為波函式，它描述了粒子的狀態。波函式具有疊加性，即，它們能夠像波一樣互相干涉和衍射。同時，波函式也被解釋為描述粒子出現在特定位置的幾率幅。這樣，粒子性和波動性就統一在同一個解釋中。
粒子性和波動性之統一:模型圖 之所以在日常生活中觀察不到物體的波動性 ，是因為他們的質量太大，導致特徵波長比可觀察的限度要小很多，因此可能發生波動性質的尺度在日常生活經驗範圍之外。這也是為什麼經典力學能夠令人滿意地解釋“自然現象”。反之，對於基本粒子來說，它們的質量和尺度決定了它們的行為主要是由量子力學所描述的，因而與我們所習慣的圖景相差甚遠。
早期光理論
惠更斯和牛頓的早期光理論
波粒二象性由於牛頓無與倫比的學術地位，他的理論在一個多世紀內無人敢於挑戰，而惠更斯的理論則漸漸為人淡忘。直到十九世紀初衍射現象被發現，光的波動理論才重新得到承認。而光的波動性與粒子性的爭論從未平息。
費涅爾、麥克斯韋和楊光理論
十九世紀早期由托馬斯·楊 和奧古斯丁，讓·費涅爾所演示的雙縫干涉實驗為惠更斯的理論提供了實驗依據：這些實驗顯示，當光穿過格線時，可以觀察到一個干涉樣式，與水波 的干涉行為十分相似。並且，通過這些樣式可以計算出光的波長。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在世紀末葉給出了一組方程，揭示了電磁波的性質。而方程得到的結果，電磁波的傳播速度就是光速，這使得光作為電磁波 的解釋被人廣泛接受，而惠更斯的理論也得到了重新認可。
愛因斯坦和光子
波粒二象性愛因斯坦將其解釋為量子化效應：電子被光子擊出金屬，每一個光子都帶有一部分能量E，這份能量對應於光的頻率ν：E=hν，這裡h是普朗克常數（6.626x10^-34Js）。光束的顏色決定於光子的頻率，而光強則決定於光子的數量。由於量子化效應，每個電子只能整份地接受光子的能量 ，因此，只有高頻率的光子（藍光，而非紅光）才有能力將電子擊出。愛因斯坦因為他的光電效應理論獲得了1921年諾貝爾物理學獎 。
光電效應方程
由於Ｅ=hv，這光照射到原子上，其中電子吸收一份能量，從而克服逸出功，逃出原子。電子所具有的動能Ek=hv-W，Ｗ為電子逃出原子所需的逸出功。這就是愛因斯坦的光電效應方程 。
德布羅意假設
波粒二象性這是對愛因斯坦等式的一般化，因為光子的動量為p=E/c（c為真空中的光速），而λ=c/ν。德布羅意的方程通過兩個獨立的電子散射實驗被證實於電子（具有靜止質量 ）身上。在貝爾實驗室ClintonJosephDavisson和LesterHalbertGermer以低速電子束射向鎳單晶獲得電子經單晶衍射 ，測得電子的波長與德布羅意公式一致。在阿伯丁大學，GeorgePagetThomson以高速電子穿過多晶金屬箔獲得類似X射線在多晶上產生的衍射花紋 ，確鑿證實了電子的波動性；以後又有其他實驗觀測到氦原子 、氫分子以及中子的衍射現象，微觀粒子的波動性已被廣泛地證實。根據微觀粒子波動性發展起來的電子顯微鏡 、電子衍射技術和中子衍射技術已成為探測物質微觀結構和晶體結構分析的有力手段。
德布羅意於1929年因為這個假設獲得了諾貝爾物理學獎。Thomson和Davisson因為他們的實驗工作共享了1937年諾貝爾物理學獎。光和微觀粒子的波粒二象性如何統一的問題是人類認識史上最令人困惑的問題，至今不能說問題已經完全解決。1926年M.玻恩提出機率波解釋，較好地解決了這個問題。按照機率波解釋，描述粒子波動性所用的波函式Ψ(x、y、z、t)是機率波，而不是什麼具體的物質波；波函式的絕對值的平方｜ψ｜2＝ψ*ψ表示時刻t在x、y、z處出現的粒子的機率密度 ，ψ*表示ψ的共軛波函數 。在電子通過雙孔的干涉實驗 中，｜ψ｜2＝｜ψ1＋ψ2｜2＝｜ψ1｜2＋｜ψ2｜2＋ψ1*ψ2＋ψ1ψ2*，強度｜ψ｜2大的地方出現粒子的機率大，相應的粒子數多，強度弱的地方，｜ψ｜2小，出現粒子的機率小，相應的粒子數少，ψ1*ψ2＋ψ1ψ2*正是反映干涉效應的項，不管實驗是在粒子流強度大的條件下做的，還是粒子流 很弱，讓粒子一個一個地射入，多次重複實驗 ，兩者所得的干涉條紋結果是相同的。
在粒子流很弱、粒子一個一個地射入多次重複實驗中顯示的干涉效應表明，微觀粒子的波動性不是大量粒子聚集的性質，單個粒子即具有波動性。於是，一方面粒子是不可分割的，另一方面在雙孔實驗中雙孔又是同時起作用的，因此，對於微觀粒子談論它的運動軌道 是沒有意義的。由於微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵從的運動規律不同於巨觀物體的運動規律，描述微觀粒子運動規律的量子力學也就不同於描述巨觀 物體運動規律的經典力學。
薛丁格方程
波粒二象性薛丁格提出的量子力學基本方程。建立於1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀 粒子的狀態隨時間變化的規律，它在量子力學中的地位相當於牛頓定律對於經典力學一樣，是量子力學的基本假設之一。設描述微觀粒子狀態的波函式 為Ψ（r，t），質量為m的微觀粒子在勢場U（r，t）中運動的薛丁格方程為。在給定初始條件和邊界條件以及波函式所滿足的單值、有限、連續的條件下，可解出波函式Ψ（r，t）。由此可計算粒子的分布機率和任何可能實驗的平均值（期望值）。當勢函式U不依賴於時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態稱為定態。定態時的波函式可寫成式中Ψ（r）稱為定態波函式，滿足定態薛丁格方程，這一方程在數學上稱為本徵方程，式中E為本徵值，是定態能量 ，Ψ（r）又稱為屬於本徵值E的本徵函式。
量子力學中求解粒子問題常歸結為解薛丁格方程或定態薛丁格方程。薛丁格方程廣泛地用於原子物理、核物理和固體物理，對於原子、分子、核、固體 等一系列問題中求解的結果都與實際符合得很好。薛丁格方程 僅適用於速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關於粒子自鏇的描述。當計及相對論效應時，薛丁格方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自鏇。
愛因斯坦
1905年，愛因斯坦對光電效應提出了一個理論，解決了之前光的波動理論所無法解釋的這個實驗現象。他引入了光子，一個攜帶光能的量子的概念。
在光電效應中，人們觀察到將一束光線照射在某些金屬上會在電路中產生一定的電流。可以推斷是光將金屬中的電子打出，使得它們流動。然而，人們同時觀察到，對於某些材料，即使一束微弱的藍光也能產生電流，但是無論多么強的紅光都無法在其中引出電流。根據波動理論，光強對應於它所攜帶的能量，因而強光一定能提供更強的能量將電子擊出。然而事實與預期的恰巧相反。
愛因斯坦將其解釋為量子化效應：金屬被光子擊出電子，每一個光子都帶有一部分能量E，這份能量對應於光的頻率ν：E=hν，這裡h是普朗克常數（6.626x10^-34Js）。光束的顏色決定於光子的頻率，而光強則決定於光子的數量。由於量子化效應，每個電子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高頻率的光子（藍光，而非紅光）才有能力將電子擊出。
愛因斯坦因為他的光電效應理論獲得了1921年諾貝爾物理學獎。
效應方程
由於E=hv，這光照射到原子上，其中電子吸收一份能量，從而克服逸出功，逃出原子。電子所具有的動能Ek=hv-Wo，Wo為電子逃出原子所需的逸出功。這就是愛因斯坦的光電效應方程。
h即普朗克常數用以描述量子大小。在量子力學中占有重要的角色，馬克斯·普朗克在1900年研究物體熱輻射的規律時發現，只有假定電磁波的發射和吸收不是連續的，而是一份一份地進行的，計算的結果才能和試驗結果是相符。這樣的一份能量叫做能量子，每一份能量子等於普朗克常數乘以輻射電磁波的頻率。
數值約為：h=6.6260693(11)×10^（-34） J·s。[經化簡為：h=6.63×10^（-34）J·s）
其中為能量單位為焦（J）。
若以電子伏特(eV)·秒(s)為能量單位則為h=4.13566743(35)×10^（-15）eV·s 普朗克常數的物理單位為能量乘上時間，也可視為動量乘上位移量：{牛頓(N)·米(m)·秒(s)}為角動量單位由於計算角動量時要常用到h/2π這個數，為避免反覆寫2π 這個數，因此引用另一個常用的量為約化普朗克常數（reducedPlanckconstant)，有時稱為狄拉克常數(Dirac constant)，紀念保羅·狄拉克：h(這個h上有一條斜槓)=h/2π約化普朗克常量（又稱合理化普朗克常量）是角動量的最小衡量單位。其中π為圓周率常數pai，h(這個h上有一條斜槓)念為"h-bar"。普朗克常數用以描述量子化，微觀下的粒子，例如電子及光子，在一確定的物理性質下具有一連續範圍內的可能數值。例如，一束具有固定頻率ν 的光，其能量E可為：有時使用角頻率ω=2πν：許多物理量可以量子化。譬如角動量量子化。J為一個具有鏇轉不變數的系統全部的角動量，Jz為沿某特定方向上所測得的角動量。其值：因此，可稱為"角動量量子"。
普朗克常數也使用於海森堡不確定原理。在位移測量上的不確定量（標準差）Δx，和同方向在動量測量上的不確定量Δp，有一定關係。還有其他組物理測量量依循這樣的關係，例如能量和時間。
假設
愛因斯坦提出光的粒子性後，路易·維克多·德布羅意做了逆向思考，他在論文中寫到：19世紀以來，只注重了光的波動性的研究，而忽略了粒子性的研究，在實物粒子的研究方面，是否犯了相反的錯誤呢？1924年，他又注意到原子中電子的穩定運動需要引入整數來描寫，與物理學中其他涉及整數的現象如干涉和振動簡正模式之間的類似性，由此構造了德布羅意假設，提出正如光具有波粒二象性一樣，實物粒子也具有波粒二象性。他將這個波長λ和動量p聯繫為：λ=h/p=h/mv
m：質量v：頻率h：普朗克常數
這是對愛因斯坦等式的一般化，因為光子的動量為p=E/c（c為真空中的光速），而λ=c/ν。
德布羅意的方程三年後通過兩個獨立的電子散射實驗被證實。在貝爾實驗室ClintonJosephDavisson和LesterHalbertGermer以低速電子束射向鎳單晶獲得電子經單晶衍射，測得電子的波長與德布羅意公式一致。在阿伯丁大學，G·P湯姆孫以高速電子穿過多晶金屬箔獲得類似X射線在多晶上產生的衍射花紋，確鑿證實了電子的波動性；以後又有其他實驗觀測到氦原子、氫分子以及中子的衍射現象，微觀粒子的波動性已被廣泛地證實。根據微觀粒子波動性發展起來的電子顯微鏡、電子衍射技術和中子衍射技術已成為探測物質微觀結構和晶體結構分析的有力手段。
德布羅意於1929年因為這個假設獲得了諾貝爾物理學獎。湯姆孫和戴維遜因為他們的實驗工作共享了1937年諾貝爾物理學獎。
機率波
光和微觀粒子的波粒二象性如何統一的問題是人類認識史上最令人困惑的問題，至今不能說問題已經完全解決【盧瑟福的α粒子散射實驗證明物質的結構是核式的（這種模型被稱為核式結構模型），原子如此，光子、電子、質子、大到天體都有自己的核心，都有繞核心運動的物質存在，每個核式結構體在運動中由於核式結構的特點，都做具有波動的直線運動，都有測不準的因素（不確定性原理）存在，都有量子化的物理特徵，各有能級的存在，各有特定的能量吸收才可以發生躍遷。】1926年M.玻恩提出機率波解釋，較好地解決了這個問題。按照機率波解釋，描述粒子波動性所用的波函式Ψ(x、y、z、t)是機率波，而不是什麼具體的物質波；波函式的絕對值的平方|ψ|2=ψ*ψ表示時刻t在x、y、z處出現的粒子的機率密度，ψ*表示ψ的共軛波函式。在電子通過雙孔的干涉實驗中，|ψ|2=|ψ1+ψ2|2=|ψ1|2+|ψ2|2+ψ1*ψ2+ψ1ψ2*，強度|ψ|2大的地方出現粒子的機率大，相應的粒子數多，強度弱的地方，|ψ|2小，出現粒子的機率小，相應的粒子數少，ψ1*ψ2+ψ1ψ2*正是反映干涉效應的項，不管實驗是在粒子流強度大的條件下做的，還是粒子流很弱，讓粒子一個一個地射入，多次重複實驗，兩者所得的干涉條紋結果是相同的。
在粒子流很弱、粒子一個一個地射入多次重複實驗中顯示的干涉效應表明，微觀粒子的波動性不是大量粒子聚集的性質，單個粒子即具有波動性。於是，一方面粒子是不可分割的，另一方面在雙孔實驗中雙孔又是同時起作用的，因此，對於微觀粒子談論它的運動軌道是沒有意義的。
由於微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵從的運動規律不同於巨觀物體的運動規律，描述微觀粒子運動規律的量子力學也就不同於描述巨觀物體運動規律的經典力學。
方程
量子力學中求解粒子問題常歸結為解薛丁格方程或定態薛丁格方程。薛丁格方程廣泛地用於原子物理、核物理和固體物理，對於原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結果都與實際符合得很好。
薛丁格方程僅適用於速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關於粒子自鏇的描述。當計及相對論效應時，薛丁格方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自鏇。
薛丁格提出的量子力學基本方程。建立於1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律，它在量子力學中的地位相當於牛頓定律對於經典力學一樣，是量子力學的基本假設之一。設描述微觀粒子狀態的波函式為Ψ（r，t），質量為m的微觀粒子在勢場U（r，t）中運動的薛丁格方程為。在給定初始條件和邊界條件以及波函式所滿足的單值、有限、連續的條件下，可解出波函式Ψ（r，t）。由此可計算粒子的分布機率和任何可能實驗的平均值（期望值）。
當勢函式U不依賴於時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態稱為定態。定態時的波函式可寫成式中Ψ（r）稱為定態波函式，滿足定態薛丁格方程，這一方程在數學上稱為本徵方程，式中E為本徵值，是定態能量，Ψ（r）又稱為屬於本徵值E的本徵函式。
