電磁場的邊值問題

"(8)這樣，電磁場的邊值問題就是矢量或標量亥姆霍茲方程的邊值問題。 Jackson ed.

電磁場的邊值問題

正文

由區域內的已知場源和邊界上的物理狀況，通過麥克斯韋方程組求解區域內電磁場的問題。
靜場情形 對於靜電場,基本方程歸結為靜電勢嗞(r)的泊松方程

(1)

式中ρ(r)是已知的電荷密度,r是位矢,ε是介電常數,即真空介電常數ε0乘以相對介電常數εr。如區域T內無場源ρ(r),方程(1)化為拉普拉斯方程墷2嗞=0。靜電場的邊值問題就是泊松方程或拉普拉斯方程的邊值問題，邊值條件視情況而異。如果是導體面，往往是給定電勢的第一類邊值問題(狄利克雷問題)或給定其上的總電荷，後者相當於給定電位移D的法向分量的積分值。如果邊界面是兩電介質1、2的分界面,且分界面上無自由電荷，則邊界條件為電位移D的法向分量連續D1n＝D2n，和電場強度E的切向分量連續E1t=E2t。在大多數情況下，後一條件表示電勢連續嗞1＝嗞2。對於靜磁情況，在引入磁矢勢後，可得到矢勢的矢量式泊松方程。在相應的邊界條件下，即可定出矢勢的值。
變化電磁場情形　對於隨時間變化的電磁場，常將B和E用矢量勢A(r，t)和標量勢嗞(r,t)表出

。 (2)

A和嗞是不惟一的，下列替換並不影響式(2)

(3)

其中f(r，t)是任取的標量函式(見電磁勢)。替換式(3)叫規範變換。如果選取洛倫茲規範，其中μ為磁導率，則在不導電媒質中A和嗞分別滿足達朗伯方程

(4)

這是非齊次波動方程，電磁場的變化以電磁波或電磁振盪的形式進行，波速（相速，見波）為,電流密度J)(r，t)和電荷密度ρ(r,t)是激勵源。如區域中無激勵源,可直接用E和B來描述電磁場，得齊次波動方程p align="center"> (5) 電磁場方程是線性的，可將電磁場分解為各種頻率的單色（單頻率）場的線性疊加即傅立葉級數或傅立葉積分，從而只需著重研究單色場

, (6)

式中ω為圓頻率,即頻率乘以2π。從以上兩式可得到亥姆霍茲方程

墷2E+k2E＝0, 墷2B+k2B＝0, (7)

其中為波矢值。
方程(7)是矢量方程。如果用笛卡兒坐標，則E(r)和B(r)的各分量分別滿足標量亥姆霍茲方程

墷2u+k2u=0。 (8)

這樣，電磁場的邊值問題就是矢量或標量亥姆霍茲方程的邊值問題。對於波導或諧振腔，如果把器壁看作是理想導體，則邊界條件是E的切向分量為零,B的法向分量為零。對於電磁波的衍射問題，在瑞利－索末菲理論中，邊界條件是入射在孔徑上的場。
解的唯一性　數學上可以證明,泊松方程(1)或拉普拉斯方程在前述邊界條件下的解是惟一的，電勢有時可以相差一無關緊要的常數。如果場源局限於有限區域而求解區域伸展至無限遠，邊界條件還要求。
拉普拉斯方程在零邊界條件下的惟一解是零解。亥姆霍茲方程有所不同,存在一系列數kn(n＝1,2,3,…)使得方程在零邊界條件下有非零解un,這些kn和un稱為該邊值問題的本徵值λn和本徵函式,相應的電磁振盪稱為本徵模式。一般的振盪是這些本徵模式的線性疊加，疊加係數根據初始條件決定；在實際的套用中，則往往用適當的激勵方式，使得只有特定模式被激勵。
只要k不等於λn，亥姆霍茲方程在邊界條件

(α,β,f 已知)下的解是惟一的。對於伸展至無限遠的區域，還要加上索末菲輻射條件
常用的求解方法有鏡像法。還有分離變數法，即對於某個正交坐標系來說，在邊界形狀比較規則的情況下，把偏微分方程分解成常微分方程，從而求出用本徵函式展開成無窮級數的解。還有格林函式法，即在一定條件下，尋找附加了邊界條件的微分運算元的反運算元的積分核，進而求得積分形式解析解。此外，還有將某些邊界條件較複雜的平面標量場轉化為邊界形狀較簡單的平面標量場的保角變換法等。以上這些方法都受邊界形狀和場域介質的限制，用它們可以求得解析解的電磁場邊值問題很有限，在很多情況下需要依靠數值解法。數值解法很多，如差分法；在一定邊值條件下求某泛函極值的里茲法；以及由里茲法和伽遼金法發展而來的有限元法等。
參考書目
　J.D.傑克遜著,朱培豫譯：《經典電動力學》,上、下冊,人民教育出版社,北京,1978、1980。(J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd ed.,John Wiley & Sons, New York, 1976.)
　梁昆淼著：《數學物理方法》，人民教育出版社，北京，1978。
　J. A. Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1941.

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