機率論[數學分支]:機率論是研究隨機現象數量規律的數學分支。隨機現象是相 -百科知識中文網

發展過程

起源

機率論是一門研究事情發生的可能性的學問，但是最初機率論的起源與賭博問題有關。16世紀，義大利的學者吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。

機率與統計的一些概念和簡單的方法，早期主要用於賭博和人口統計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規律性，並用數學方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產生了機率論，並使之逐步發展成一門嚴謹的學科。機率與統計的方法日益滲透到各個領域，並廣泛套用於自然科學、經濟學、醫學、金融保險甚至人文科學中。

發展

隨著18、19世紀科學的發展，人們注意到在某些生物、物理和社會現象與機會遊戲之間有某種相似性，從而由機會遊戲起源的機率論被套用到這些領域中；同時這也大大推動了機率論本身的發展。使機率論成為數學的一個分支的奠基人是瑞士數學家伯努利，他建立了機率論中第一個極限定理，即伯努利大數定律，闡明了事件的頻率穩定於它的機率。隨後棣莫弗和拉普拉斯又導出了第二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統總結前人工作的基礎上寫出了《分析的機率理論》，明確給出了機率的古典定義，並在機率論中引入了更有力的分析工具，將機率論推向一個新的發展階段。19世紀末，俄國數學家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數定律及中心極限定理的一般形式，科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從常態分配。20世紀初受物理學的刺激，人們開始研究隨機過程。這方面柯爾莫哥洛夫、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費勒等人作了傑出的貢獻。

定義

傳統機率

傳統機率又叫拉普拉斯機率，因為其定義是由法國數學家拉普拉斯提出的。如果一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的，且每個單位事件發生的可能性均相等，則這個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗。在拉普拉斯試驗中，事件A在事件空間S中的機率P(A)為：

例如，在一次同時擲一個硬幣和一個骰子的隨機試驗中，假設事件A為獲得國徽面且點數大於4，那么事件A的機率應該有如下計算方法：S={(國徽，1點)，(數字，1點)，(國徽，2點)，(數字，2點)，(國徽，3點)，(數字，3點)，(國徽，4點)，(數字，4點)，(國徽，5點)，(數字，5點)，(國徽，6點)，(數字，6點)}，A={(國徽，5點)，(國徽，6點)}，按照拉普拉斯定義，A的機率為2/12=1/6，注意到在拉普拉斯試驗中存在著若干的疑問，在現實中是否存在著這樣一個試驗，其單位事件的機率具有精確的相同的機率值，因為人們不知道，硬幣以及骰子是否"完美"，即骰子製造的是否均勻，其重心是否位於正中心，以及輪盤是否傾向於某一個數字等等。儘管如此，傳統機率在實踐中被廣泛套用於確定事件的機率值，其理論根據是： 如果沒有足夠的論據來證明一個事件的機率大於另一個事件的機率，那么可以認為這兩個事件的機率值相等。如果仔細觀察這個定義會發現拉普拉斯用機率解釋了機率，定義中用了"相同的可能性"（原文是égalementpossible）一詞，其實指的就是"相同的機率"。這個定義也並沒有說出，到底什麼是機率，以及如何用數字來確定機率。在現實生活中也有一系列問題，無論如何不能用傳統機率定義來解釋，比如，人壽保險公司無法確定一個50歲的人在下一年將死去的機率等。

公理化定義

如何定義機率，如何把機率論建立在嚴格的邏輯基礎上，是機率理論發展的困難所在，對這一問題的探索一直持續了3個世紀。20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨後發展的抽象測度和積分理論，為機率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年在他的《機率論基礎》一書中第一次給出了機率的測度論的定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代機率論的基礎，使機率論成為嚴謹的數學分支，對機率論的迅速發展起了積極的作用。

以下是公理化定義：

設隨機實驗E的樣本空間為Ω。若按照某種方法，對E的每一事件A賦於一個實數P(A)，且滿足以下公理：

（1） 非負性：P(A)≥0；

（2） 規範性：P(Ω)=1；

（3） 可列（完全）可加性 ：對於兩兩互不相容的可列無窮多個事件A1，A2，……，An，……，有，則稱實數P(A)為事件A的機率。

統計定義

設隨機事件A在n次重複試驗中發生的次數為n，若當試驗次數n很大時，頻率n/n穩定地在某一數值p的附近擺動，且隨著試驗次數n的增加，其擺動的幅度越來越小，則稱數p為隨機事件A的機率，記為P(A)=p。

事件

事件包括單位事件、事件空間、隨機事件等。

在一次隨機試驗中可能發生的唯一的，且相互之間獨立的結果被稱為單位事件，用e表示。在隨機試驗中可能發生的所有單位事件的集合稱為事件空間，用S來表示。例如在一次擲骰子的隨機試驗中，如果用獲得的點數來表示單位事件，那么一共可能出現6個單位事件，則事件空間可以表示為S={1，2，3，4，5，6}。上面的事件空間是由可數有限單位事件組成，事實上還存在著由可數無限以及不可數單位事件組成的事件空間，比如在一次直到獲得國徽面朝上的隨機擲硬幣試驗中，其事件空間由可數無限單位事件組成，表示為：S={國，數國，數數國，數數數國，數數數數國，···}，注意到在這個例子中"數數數國"是單位事件。將兩根筷子隨意扔向桌面，其靜止後所形成的交角假設為α，這個隨機試驗的事件空間的組成可以表示為。

隨機事件是事件空間S的子集，它由事件空間S中的單位元素構成，用大寫字母A，B，C...表示。例如在擲兩個骰子的隨機試驗中，設隨機事件A="獲得的點數和大於10"，則A可以由下面3個單位事件組成：A={(5，6)，(6，5)，(6，6)}。如果在隨機試驗中事件空間中的所有可能的單位事件都發生，這個事件被稱為必然事件，表示為；相應的如果事件空間裡不包含任何一個單位事件，則稱之為不可能事件，表示為。

事件的計算

因為事件在一定程度上是以集合的含義定義的，因此可以把集合計算方法直接套用於事件的計算，也就是說，在計算過程中，可以把事件當作集合來對待。

A的補集不屬於A的事件發生	聯集A∪B 或者A或者B或者A，B同時發生	交集A∩B 事件A，B同時發生
差集A\B 不屬於B的A事件發生）	空集A∩B=∅A，B事件不同時發生	子集B⊆A 如A發生，則B也一定發生

在輪盤遊戲中假設A代表事件“球落在紅色區域”，B代表事件"球落在黑色區域"，C代表事件"球落在綠色區域"，因為事件A和B沒有共同的單位事件，因此可表示為機率P(AB)=0。

注意到事件A和B並不是互補的關係，因為在整個事件空間S中還有一個單位事件C，其即不是紅色也不是黑色，而是綠色，因此A，B的補集應該分別表示如下：以及。

條件機率

一事件A在一事件B確定發生後會發生的機率稱為B給之A的條件機率；其數值為（當時）。若B給之A的條件機率和A的機率相同時，則稱A和B為獨立事件。且A和B的此一關係為對稱的，這可以由一同價敘述：“當A和B為獨立事件時，P(A∩B)=P(A)P(B)”看出。

計算

需要提及的是下面將要介紹的9個計算機率的定理與上面已經提及的事件的計算沒有關係，所有關於機率的定理均由機率的3個公理得來，同時適用於包括拉普拉斯機率和統計機率在內的所有機率理論。

定理1

又稱 互補法則。

與A互補事件的機率始終是1-P(A)。

第一次旋轉紅色不出現的機率是19/37，按照乘法法則，第二次也不出現紅色的機率是，因此在這裡互補機率就是指在兩次連續旋轉中至少有一次是紅色的機率，為

定理2

不可能事件的機率為零。

證明： Q和S是互補事件，按照公理2有P(S)=1，再根據上面的定理1得到P(Q)=0

定理3

如果A1...An事件不能同時發生（為互斥事件），而且若干事件A1，A2，...An∈S每兩兩之間是空集關係，那么這些所有事件集合的機率等於單個事件的機率的和。

例如，在一次擲骰子中，得到5點或者6點的機率是：

定理4

如果事件A，B是差集關係，則有

定理5

任意事件加法法則：

對於事件空間S中的任意兩個事件A和B，有如下定理：機率

定理6

乘法法則：

事件A，B同時發生的機率是：，前提為事件A,B有一定關聯。

定理7

無關事件乘法法則：

兩個不相關聯的事件A，B同時發生的機率是：注意到這個定理實際上是定理6(乘法法則)的特殊情況，如果事件A，B沒有聯繫，則有P(A|B)=P(A)，以及P(B|A)=P(B)。觀察一下輪盤遊戲中兩次連續的旋轉過程，P(A)代表第一次出現紅色的機率，P(B)代表第二次出現紅色的機率，可以看出，A與B沒有關聯，利用上面提到的公式，連續兩次出現紅色的機率為：

忽視這一定理是造成許多玩家失敗的根源，普遍認為，經過連續出現若干次紅色後，黑色出現的機率會越來越大，事實上兩種顏色每次出現的機率是相等的，之前出現的紅色與之後出現的黑色之間沒有任何聯繫，因為球本身並沒有"記憶"，它並不"知道"以前都發生了什麼。

所以，連續10次至少有1次出現紅色的機率為。

統計機率

統計機率是建立在頻率理論基礎上的，分別由英國邏輯學家約翰(John Venn,1834-1923)和奧地利數學家理察(Richard VonMises,1883-1953)提出，他們認為，獲得一個事件的機率值的唯一方法是通過對該事件進行100次，1000次或者甚至10000次的前後相互獨立的n次隨機試驗，針對每次試驗均記錄下絕對頻率值和相對頻率值hn(A)，隨著試驗次數n的增加，會出現如下事實，即相對頻率值會趨於穩定，它在一個特定的值上下浮動，也即是說存在著一個極限值P(A)，相對頻率值趨向於這個極限值。

這個極限值被稱為統計機率，表示為：。

例如，若想知道在一次擲骰子的隨機試驗中獲得6點的機率值可以對其進行3000次前後獨立的扔擲試驗，在每一次試驗後記錄下出現6點的次數，然後通過計算相對頻率值可以得到趨向於某一個數的統計機率值。

扔擲數	獲得6點的絕對頻率	獲得6點的相對頻率
1	1	1.00000
2	1	0.50000
3	1	0.33333
4	1	0.25000
5	2	0.40000
10	2	0.20000
20	5	0.25000
100	12	0.12000
200	39	0.19500
300	46	0.15333
400	72	0.18000
500	76	0.15200
600	102	0.17000
700	120	0.17143
1000	170	0.17000
2000	343	0.17150
3000	560	0.16867

上面提到的這個有關相對頻率的經驗值又被稱為大數定律，是頻率理論學家定義機率論的基礎。然而沒有人可以將骰子無限的扔下去，因此在實踐中也就無法有力的證明大數定律，許多來自數學理論的論證至今也沒有取得成功。儘管如此，統計機率在今天的實踐中具有重要意義，它是數理統計的基礎。

完全機率

n個事件H1，H2，...Hn互相間獨立，且共同組成整個事件空間S，即，而且。這時A的機率可以表示為

例如，一個隨機試驗工具由一個骰子和一個柜子中的三個抽屜組成，抽屜1里有14個白球和6個黑球，抽屜2里有2個白球和8個黑球，抽屜3里有3個白球和7個黑球，試驗規則是首先擲骰子，如果獲得小於4點，則抽屜1被選擇，如果獲得4點或者5點，則抽屜2被選擇，其他情況選擇抽屜3。然後在選擇的抽屜里隨機抽出一個球，最後抽出的這個球是白球的機率是：

P(白)=P(白|抽1)·P(抽1)+P(白|抽2)·P(抽2)+P(白|抽3)·P(抽3)

=(14/20)·(3/6)+(2/10)·(2/6)+(3/10)·(1/6)

=28/60=0.4667

從例子中可看出，完全機率特別適合於分析具有多層結構的隨機試驗的情況。