基本介紹
楔體是一種特殊的擬柱體,將一個三稜柱(直三稜柱或斜三稜柱)用一個與三棱相交的截面(直截面或斜截面)去截開,所得的幾何體稱為 楔體。它是一種擬柱體,下底面為梯形或平行四邊形,上底面是與下底面的平行邊平行的線段。圖1中畫出了楔體AB-CDEF。中國古算書《九章算術》中給出了當AE面垂直於CE面時被稱為羨除的體積計算公式為
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
楔體與擬柱體
擬柱體 所有頂點都在兩個平行的平面上的多面體叫做擬柱體。它在這兩個平面內的面叫做擬柱體的底面,其餘各面叫做擬柱體的側面,兩底面之間的距離叫做擬柱體的高,通過高的中點且平行於底面的截面叫做擬柱體的中截面(圖2) 。
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楔體 擬柱體的兩底都是矩形,並且對應邊平行,這種擬柱體叫做長方台(圖3左)。如果擬柱體的下底面是梯形或平行四邊形,上底面變成了與下底面平行的線段,這樣的擬柱體叫做 楔體(圖3右)。
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擬柱體除有長方台和楔體兩種特殊情形外,從定義可知,還有下面一些特殊情形:
1.如果擬柱體的兩底面是全等的多邊形,並且對應邊平行,則這樣的擬柱體就是稜柱。
2.如果擬柱體的一個底面變為一點,則擬柱體就變為稜錐。
3.如果擬柱體的兩底面是相似多邊形,並且對應邊平行,則這樣的擬柱體就是稜台。
顯然,正四稜台也是長方台的特殊情形,三稜柱也可以看作是楔體的特殊情形 。
擬柱體及楔體的體積公式
現在我們研究擬柱體體積公式一辛普松定理:
定理 任意擬柱體的體積,等於它的高h與上底面積S下底面積S,中截面積S四倍的和的六分之一。即:
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V=
【例1】已知楔體下底上平行棱MN、CD的長是a、b,平行於它們的棱KL長為c,垂直於這些棱的直截面面積為S',求楔體的體積。
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解 設楔體的直截面EFG與中截面的交線為E'G'(圖4)因為楔體是擬柱體的特殊情形。
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所以它的體積 V=
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因為
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所以V=
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