條件期望

條件期望，又稱條件數學期望。為了方便起見，我們討論兩個隨機變數X與Y的場合，假定它們具有密度函式f(x,y) ，並以g(y|x) 記已知X=x的條件下Y的條件密度函式，以h(x) 記X的邊緣密度函式。定義在X=x的條件下， Y的條件期望定義為：E(Y|X=x)=∫y*g(y|x)dy 。

定義

在機率論中，條件期望是一個實數隨機變數的相對於一個條件機率分布的期望值。換句話說，這是給定的一個或多個其他變數的值一個變數的期望值。它也被稱為條件期望值。

設X和Y是離散隨機變數，則X的條件期望在給定事件Y = y條件下是y的在Y的值域的函式

條件期望函式

其中，是x處於X的值域。

如果現在X是一個連續隨機變數，而在Y仍然是一個離散變數，條件期望是：

條件期望

條件期望

其中， 是在給定Y=y下X的條件機率密度函式。

套用

條件數學期望在近代機率論中有著基本重要的作用 ，在實際問題中也有很大用處。在兩個互有影響的隨機變數中，如果已知其中一個隨機變數的取值 =y，要據此去估計或預測另一個隨機變數的取值，這樣的問題在實際套用中經常會碰到。人們稱它為“預測問題”。由上述討論可知，條件數學期望 E( )是在已知( = y)發生的條件下，對 的一個頗為“合理”的預測。

一般認為，人的身高和腳印長可當作一個二維常態分配變數來處理。

把它畫在平面的直角坐標系中就是一條直線，它在一定程度上描寫了身高依賴於腳印的關係，常常稱為是 回歸直線。在一般情形下，由

E( x，y) 或{x， E( x)}

可以得到平面上的兩條曲線，它們稱為是回歸曲線或簡稱為回歸。

期望的剩餘方差

還有一點應該指出的是，對於用得最廣泛的常態分配來說，可以從例3.27知道，兩類回歸恰好是一致的。這一事實表明，就常態分配而言，最佳線性估計就是最佳估計。當然，這裡“最佳”的意思是指均方差最小

這個均方誤差常常稱為剩餘方差。由上式可知，當 與 間的相關係數| |= 1時，剩餘方差為零。這時， 可以用方差來準確估計，也就是說 與 之間存在著線性關係。於是我們又一次證明了相關係數是隨機變數間線性相依程度的反映。