前言
機率論是研究隨機現象的一門數學分支. 投擲一枚硬幣是一種非常簡單的隨機現象，投擲之前我們並不知道結果會出現正面還是反面，然而這看似“完全隨機”的背後隱藏著其本身所固有的規律，機率論的主要目標就是揭示隨機現象中所蘊含的各種規律 . 數理統計是與機率論有著密切關係的一門學科 . 關於機率論與數理統計，中科院數學與系統科學研究院的嚴加安院士寫有如下詩句：
悟道詩,隨機非隨意, 機率破玄機,無序隱有序 , 統計解迷離.
近年來，機率論在數學中的地位顯得越來越高了. 2006年 G. Perelman, A. Okounkov, W. Werner與 T. Tao獲得菲爾茲獎，其中， A. Okounkov因在機率、表示論與代數幾何之間建立起橋樑與紐帶而獲獎， W. Werner因對發展隨機共形映射、布朗運動二維空間的幾何學以及共形場理論作出了突出貢獻而獲獎 . 2006年 K. It.獲得首屆高斯獎， K. It.對隨機微分方程的創立與發展作出了突出貢獻 , 隨機微分方程在經濟、金融等眾多領域發揮著重要的作用 . 2007年美籍印度數學家 S. R. S. Varadhan獲得阿貝爾獎， Varadhan先生因對機率論作出的貢獻，特別是建立一個大偏差統一理論而獲得獎項 . 2010 年 E. Lindenstrauss, N. B. Chau, S. Smirnov與 C. Villani獲得菲爾茲獎，其中後兩位的獲獎工作都與機率論有關 .
機率論在圖論、組合、數論等領域有著重要的套用，著名數學家 P. Erd.s創立了一種特有的方法，稱為機率方法，又稱為 Erd.s方法. 粗略地講，本方法指的是為證明某種離散結構存在，構造一個合適的機率空間，然後證明那種結構在這個機率空間中以正機率存在，從而證明了那個結構的存在性 . 有興趣作深入了解的讀者，請參看 N. Alon與 J. H. Spencer的專著 .
雖然許多本科生都學過“機率論”（我們稱之為“初等機率論”），但是對於機率統計及相關專業研究生的學習，對於機率統計及相關領域（如金融、經濟）的學者從事科學研究，“初等機率論”還很不夠，為此我們需要學習“高等機率論” .
本書將主要介紹三部分內容：第一部分，測度論基礎；第二部分，機率論基礎；第三部分，機率極限理論 . 第一部分包括前四章：測度空間與機率空間；可測映射與隨機變數；積分與期望；乘積空間與 Fubini定理. 第二部分包括兩章：獨立性、條件期望、一致可積性；鞅論簡介 . 第三部分包括兩章：大數定律；中心極限定理. 另外，將用一章介紹 Chebyshev不等式，最後一章介紹機率論領域中的三個著名問題： Gauss相關猜測； Hunt假設(H)與 Getoor猜測；熱點猜測 .本書適合作為研究生及高年級本科生相關課程的教材，也可供教師參考閱讀.
測度論是機率論的基礎，機率論是統計學的基礎；機率極限理論本身是機率論中一個重要分支，同時在許多學科（如統計）中又發揮著重要作用；機率論是學習隨機過程、隨機微分方程的基礎，而隨機過程、隨機微分方程在金融、經濟等眾多領域發揮著重要作用 . 由此我們可以說“高等機率論”是機率統計專業研究生的一門非常重要的基礎課 .
作者自 2006年春季起連續 9年給數學系碩士研究生講授“高等機率論” . 本教材是結合自己在講授過程中的一些體會編寫而成的 . 本書具有以下一些特點：
(1)介紹了一些最新的科研成果；
(2)介紹了機率論領域中的幾個著名問題；
(3)對許多命題，採用分析法給出證明；
(4)提出了一些思考題供有興趣的讀者思考；
(5)對一些高深的知識或分支，不作詳細介紹，只在章節結束時的“進一步閱讀”中給出參考文獻 .
感謝國家自然科學基金、中央高校基本科研業務費、江蘇省自然科學基金、江蘇省優勢學科經費對我科研的支持，感謝南京大學數學系領導的支持與幫助，感謝家人給予我的愛與鼓勵 .
由於作者水平有限，有處理不當的地方，誠請各位專家和讀者批評指正 .
胡澤春
2014年 5月於南京大學
目錄
第 0章機率論的歷史簡介 .1
第 1章測度空間與機率空間 4
1.1可測空間 .4
1.1.1集類.4
1.1.2生成集類、單調類定理 7
1.2測度與機率 .10
1.2.1定義及性質 10
1.2.2外測度、測度擴張定理 13
1.2.3歐氏空間上的 Lebesgue-Stieltjes測度.19
第 2章可測映射與隨機變數 24
2.1定義、性質及構造 24
2.2幾種收斂性 .30
2.3隨機變數的分布、分布函式 34
第 3章積分與期望 36
3.1定義、性質及變換 36
3.2 Riemann積分與 Lebesgue積分43
3.3積分收斂定理 .45
3.4不定積分與符號測度 49
3.5 Lp空間56
第 4章乘積空間與 Fubini定理 .64
4.1乘積測度與 Fubini定理64
4.2由s有限核產生的測度與積分 .68
4.3無窮乘積空間上的機率測度 70
第 5章獨立性、條件期望、一致可積性 75
5.1獨立性, 0-1律.75
5.1.1事件與隨機變數的獨立性 75
5.1.2 Borel-Cantelli引理、 Borel 0-1律.77
5.1.3 Kolmogorov 0-1律81
5.1.4 Hewitt-Savage 0-1律.82
5.2條件期望與條件機率 83
5.2.1條件期望的定義 83
5.2.2條件期望的性質 86
5.2.3條件期望的計算、 Bayes法則89
5.2.4條件機率、條件獨立性 91
5.2.5正則條件機率 93
5.3隨機變數的一致可積性 .96
第 6章鞅論簡介 101
6.1定義、性質、停止定理 .101
6.2不等式106
6.3鞅收斂定理、上鞅 Doob分解定理 .109
6.4連續鞅的定義及一點說明 .113
6.5鞅論在保險精算中的套用 .114
第 7章大數定律 117
7.1弱大數定律 .117
7.2強大數定律 .122
7.2.1一些準備 .122
7.2.2收斂定理 .124
7.3隨機級數的收斂 129
7.4重對數律 .132
第 8章中心極限定理 .133
8.1測度的弱收斂、隨機變數的依分布收斂 .133
8.2特徵函式 .139
8.3分布函式與特徵函式的收斂性 141
8.4中心極限定理 .146
8.5穩定分布 .149
8.6無窮可分分布 .151
8.7 Skorokhod構造與其他收斂性定理 .153
第 9章 Chebyshev不等式 155
9.1經典 Chebyshev不等式及多元推廣 155
9.2 Hilbert空間值 Chebyshev不等式 156
9.3 Banach空間值 Chebyshev不等式156
第 10章著名問題介紹 .161
10.1 Gauss相關猜測 161
10.1.1猜測的具體內容及等價形式 .161
10.1.2早期歷史 162
10.1.3近年來的主要進展 .163
10.2 Hunt假設(H)與 Getoor猜測165
10.2.1 Hunt假設(H)及相關位勢原理 .165
10.2.2 Getoor猜測及已有成果 .167
10.2.3我們在 Getoor猜測方面的工作 .169
10.2.4待解決的一些問題 .173
10.3 熱點猜測 .173
10.3.1猜測的具體內容 .173
10.3.2猜測的進展 175
索引178
參考文獻 182
