最簡單的柯西積分定理的形式為：當D是單連通區域 ，而f（z）是D上的解析函式時，以下3個互相等價的結論成立 ： ① f（z） 在D內沿任意可求長曲線積分與路徑無關。②f（ z ）在 D內沿任意可求長閉曲線積分為零。③f（z ）在D上有原函式 。 如果在連續函式類中討論，則以上定理還是可逆的。柯西定理有以下常用的變化的形式 ：①D 是由幾條簡單光滑閉曲線圍成的有界區域，記L=D，f（z）在D上解析，在Image:柯西積分定理1.在DUL上連續，則必有
②在上述條件下 ，若 L=L0+…+L即D由L0，，…，L所圍成，
作為柯西積分定理的套用，有同樣可作為解析函式充要條件的柯西積分公式：f（z）在上連續 ，在D內解析的充要條件是。
。柯西積分公式是證明一系列解析函式重要性質的工具，首先是證明了圓盤上的解析函式一定可展為冪級數 ，從而證明了 A.-L.柯西與K.魏爾斯特拉斯關於解析函式兩個定義的等價性 ，其次證明了解析函式是無限次可微的，從而其實部與虛部也是無限次可微的調和函式。柯西積 分定理 已推廣到沿同 倫曲線或沿同調鏈 積分的形式。柯西積分公式在多複變函數中也有許多不同形式.
簡單的說，定義如下：
設C是一條簡單閉曲線，函式f（z）在以C為邊界的有界區域D內解析，在閉區域D‘上連續，那么有:
f(z)對曲線的閉合積分值為零。
（注:f(z）為複函數）
