定義
本原多項式
本原多項式
本原多項式
本原多項式 本原多項式
本原多項式設是唯一分解整環 上的多項式，如果 ，則稱 為 上的一個本原多項式 。（符號表示最大公約數）
本原多項式滿足以下條件：
本原多項式1）是既約的，即不能再分解因式；
本原多項式
本原多項式
本原多項式2）可整除，這裡的；
本原多項式
本原多項式
本原多項式3）不能整除，這裡。
定理
高斯引理：本原多項式的乘積還是本原多項式。
本原多項式
本原多項式證明：設 和 分別是n次與m次的本原多項式。
本原多項式令
本原多項式其中
本原多項式
本原多項式這裡，當s>n或t>m時，規定 及 。
本原多項式 本原多項式
本原多項式
本原多項式
本原多項式 本原多項式
本原多項式假定 不是本原的，則存在 上的不可約元 ，使。（式表示整除）
本原多項式
本原多項式
本原多項式 本原多項式
本原多項式
本原多項式已知 ，設 及 中最先一個不能被整除的元素分別為 與 ，則
本原多項式
本原多項式
本原多項式 本原多項式 本原多項式 本原多項式 本原多項式
本原多項式 本原多項式
本原多項式因為且，而 不整除 、 ，所以 不整除 ，這與能整除矛盾。
本原多項式這就證明了 為本原多項式。
套用
1）在MATLAB中，本原多項式可以通過函式primpoly(x)來產生。
2）在MATLAB中，通過函式gfprimfd(m,'min')可以找到一個最小的本原多項式。
