本原元素定理

在數學中,本原元素定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F,E可以表示為F(α)的形式,即E可以由單個元素生成。

簡介

在數學中,本原元素定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F,E可以表示為F(α)的形式,即E可以由單個元素生成。

本原元素定理 本原元素定理

本原元素定理(the theorem of the primitive e1-ement)是判定單擴張的重要命題,是對代數擴張在什麼條件下為單擴張問題的一個廣泛回答。若K=F是域F的代數擴域, 為F上可分元,則存在一個元素使得K=F(B),其中B稱為本原元素。特別地,有限次可分擴域必為單擴域,此為本原元素定理。施泰尼茨<Steinitz, E.)給出更一般的定理:有限次擴張是單擴張的充分必要條件為其中間域的個數有限。

定理

一個有限擴張 E/F有本原元,即存在α使得E=F(α),若且唯若 E和 F之間只有有限箇中間域。

證明

如果F是有限域,由於E/F是有限擴張,推得E也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群,任取這個乘法群的一個生成元,E可以由這個生成元生成。所以在F是有限域的情況下,定理左右兩邊恆為真。

如果F是無限域,但是只有有限箇中間域。 先證明一個引理:假設E=F(α,β)並且E和F之間只有有限箇中間域,那么存在一個γ∈E使得E=F(γ)。

本原元素定理 本原元素定理
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引理的證明如下:當c取遍F的時候,對於每一個c可以做一個中間域F(α+cβ)。但是由假設,只有有限箇中間域,因此必定存在 , ,使得F(α+cβ)=F(α+cβ)。由於α+cβ,α+cβ都在這個域裡,推得(c-c)β也在這個域裡。由於c≠c,推得β在這個域裡,於是α也在這個域裡,因此E=F(α,β)是F(α+cβ)的子集,F(α+cβ)是F(α,β)的子集,於是F(α+cβ)。引理證畢。

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由於有限擴張總是有限生成的,推得 (對於 )。利用歸納法以及引理可以得出,如果E/F之間只有有限箇中間域,那么E可以由單個元素生成。

而如果E=F(α),假設f(x)=irr(α,F,x)是α在F上的極小多項式,K是任意一個中間域,g(x)=irr(α,K,x)是α在K上的極小多項式。顯然g(x)整除f(x),由於域上的多項式環是唯一分解環,f(x)只有有限個因子。而對於每一個g(x)整除f(x),如果g(x)寫作

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並令

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顯然K是K的一個子域,因此gK(x)在K0上依然是不可約的。而同時E=F(α)=K(α)=K(α),因此可以得到

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這樣立即推K=K,於是任何一個中間域K對應唯一的一個f(x)的因子g。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的,因此中間域個數有限。證畢。

本原多項式

本原多項式是近世代數中的一個概念,是唯一分解整環上滿足所有係數的最大公因數為1的多項式。本原多項式不等於零,與本原多項式相伴的多項式仍為本原多項式。

定義

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是唯一分解整環D上的多項式,如果,則稱f(x)為D上的一個本原多項式。(符號gcd()表示最大公約數)

本原多項式滿足以下條件:

1)f(x)是既約的,即不能再分解因式;

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2)f(x)可整除,這裡的;

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3)f(x)不能整除,這裡q<m。

定理

高斯引理:本原多項式的乘積還是本原多項式。

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