斯坦納—雷米歐斯定理

∴2sin →sin →sin

內容

如果三角形中兩內角平分線相等，則此三角形必為等腰三角形。

歷史

這一命題的逆命題：“等腰三角形兩底角的平分線長度相等”，早在二千多年前的《幾何原本》中就已作為定理，證明過程想必大家都會。但上述命題在《幾何原本》中隻字未提，直到1840年，雷米歐斯（C.L.Lehmus）在他給斯圖姆（C.Sturm）的信中提出請求給出一個純幾何證明。斯圖姆沒有解決，就向許多數學家提出這一問題。據說連歐幾里德都不會證！！首先給出證明的是瑞士幾何學家斯坦納（J.Steiner,1796~1863），因而這一定理就稱為斯坦納—雷米歐斯定理。
繼斯坦納之後，這一定理的豐富多彩的證明陸續發表，但大多是間接證法，直接證法難度頗大。一百多年來，吸引了許多數學家和數學愛好者。

證明

證明1

如圖，則在△EBC與△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（積化和差）
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分組並提取公因式）
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化積）
又顯然上式的後一個因式的值大於零，∴sin[(β-γ)/2]=0， ∴β=γ,∴AB=AC. 證畢！

證明2

設三角形ABC,∠B=2a,∠C=2b,角平分線BD=CE
分別以BD,CE為底邊,以a+b為底角向上做兩個等腰三角形BDF,CEG
連線AF,AG
則ADBF四點共圓,AGCE四點也共圓
因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
所以FAG共線
∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
所以BCGF四點共圓
因△FBD≌△GEC
所以BF=CG,結合共圓條件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB
b+a+a=b+b+a
整理得∠B=∠C

證明3

如圖，將△AEC繞點O（點O為BI和CI的中垂線的交點）逆時針旋轉，使CE與BD重合，A的對應點為A'。
設BD與CE交於I，則I為△ABC的內心，AI平分∠BAC，則旋轉後AI的對應線為A'I'。連線AA'，A'B。

證明圖

∵∠DA'B=∠BAC（旋轉對應角）
∴A、A'、B、D四點共圓
∴∠AA'D=∠ABD
∵∠AID=∠ABD+∠BAI（外角定理）
∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I'
∴A、A'、I'、I四點共圓
∵AI=A'I'
∴四邊形AA'I'I是等腰梯形
∴AA'∥II'
即AA'∥BD
∴四邊形AA'BD是等腰梯形
∴AB=A'D=A'C'
∵A'C'=AC
∴AB=AC
定理證畢