定義
在分析力學裡,一個動力系統的 拉格朗日函式,是描述整個物理系統的動力狀態的函式,對於一般經典物理系統,通常定義為動能減去勢能,以方程表示為
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其中, 為拉格朗日量, 為動能, 為勢能。
在分析力學裡,假設已知一個系統的拉格朗日函式,則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程,稍加運算,即可求得此系統的運動方程。
概念
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拉格朗日量是動能 與勢能 的差值:
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通常,動能的參數為廣義速度 (符號上方的點號表示對於時間 的全導數),而勢能的參數為廣義坐標 ,所以,拉格朗日函式的參數為 。解析一個問題,最先要選擇一個合適的廣義坐標。然後,計算出其拉格朗日函式。假定這些參數(廣義坐標、廣義速度)都互相獨立,就可以用拉格朗日方程來求得系統的運動方程。
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假設一個物理系統的拉格朗日量為 ,則此物理系統的運動,以拉格朗日方程表示為
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其中, 是時間, 是廣義坐標, 是廣義速度 。
1.拉格朗日函式與作用量的關係
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一個物理系統的作用量 是一種泛函,以數學方程定義為
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其中, 是系統的拉格朗日量,廣義坐標 是時間 的函式, 和 分別為初始時間和終結時間。
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假若,作用量的一次變分 ,作用量 為平穩值,則 正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算,可以推導出拉格朗日方程 。
2.拉格朗日函式與能量守恆定律的關係
思考拉格朗日函式對於時間的全導數:
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將拉格朗日方程代入,可以得到
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定義能量函式 為
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則能量函式與 拉格朗日函式有以下含時關係式:
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假若拉格朗日量顯性地與時間無關, ,則能量函式是個常數: 。稱這常數 為這物理系統的能量。因此,這物理系統的能量守恆。
分析原理
分析力學方面
在分析力學裡,一個動力系統的拉格朗日量(英語:Lagrangian),又稱為拉格朗日函式,是描述整個物理系統的動力狀態的函式,對於一般經典物理系統,通常定義為動能減去勢能。
力學方面
在力學繫上只有保守力的作用,則力學系及其運動條件就完全可以用拉格朗日函式表示出來。這裡說的運動條件是指系統所受的主動力和約束。因此,給定了拉氏函式的明顯形式就等於給出了一個確定的力學系。拉氏函式是力學系的特性函式。