微分幾何的產生
微分幾何學的產生和發展是和數學分析密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家歐拉。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這以幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。
十八世紀初，法國數學家蒙日首先把微積分套用到曲線和曲面的研究中去，並於1807年出版了它的《分析在幾何學上的套用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素。
1827年，高斯發表了《關於曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現代形式曲面論的基礎。微分幾何發展經歷了150年之後，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內容，建立了曲面的內在幾何學。其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲面的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區域的面積、測地線、測地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎。
1872年克萊因在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行了分類。在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起經以威爾辛斯基為代表的美國學派所發展，1916年起又經以富比尼為首的義大利學派所發展。
隨後，由於黎曼幾何的發展和愛因斯坦廣義相對論的建立，微分幾何在黎曼幾何學和廣義相對論中的得到了廣泛的套用，逐漸在數學中成為獨具特色、套用廣泛的獨立學科。
微分幾何學的基本內容
微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內容，而要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點到另一點的路徑是無數的，但這兩點間最短的路徑只有一條，叫做從一點到另一點的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質等。另外，討論曲面在每一點的曲率也是微分幾何的重要內容。
在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂“活動標形的方法”。對任意曲線的“小範圍”性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線“轉化”成初等曲線進行研究。
在微分幾何中，由於運用數學分析的理論，就可以在無限小的範圍內略去高階無窮小，一些複雜的依賴關係可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。
近代由於對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何學同黎曼幾何、拓撲學、變分學、李群代數等有了密切的關係，這些數學部門和微分幾何互相滲透，已成為現代數學的中心問題之一。
微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的套用，比如，在彈性薄殼結構方面，在機械的齒輪嚙合理論套用方面，都充分套用了微分幾何學的理論。
