概念簡介
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
群的概念
一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群的判別
關於群的子群的判別問題，有下列命題：
1.設H是群<G,·>的非空子集，則H是G的子群若且唯若H滿足下列兩條件之一：
（1）對任意a,b∈H，a·b∈H 且a^(-1)∈H；
（2）對任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。
任何群<G,·>有兩個平凡的子群：G和e，其中e是G的麼元。
子群的基本性質
H是群G的子群若且唯若其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指：任兩個在H內的元素a和b，ab和a−1都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件：任兩個在H內的a和b，ab−1也會在H內。)在H是有限的情狀下，則H是一個子群若且唯若H在乘積下為封閉的。(在此一情形下，每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子群，且a的逆元素會是a−1 = an − 1，其中n為a的目。)
上述的條件可以用同態來敘述；亦即，H為群G的子群若且唯若H為G的子集且存在一個由H映射到G的內含同態(即對每個a，i(a) = a)。
子群的單位元亦是群的單位元：若G是個有單位元素eG的群，且H為具有單位元素eH之G的子群，則eH = eG。
一個子群內的一元素之逆元素為群內的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b為會使得ab=ba=eH之H內的元素，則ab = ba = eG。
子群A和B的交集亦為一個子群。但其聯集亦為一個子群若且唯若A或B包含著另外一個，像是2和3是在2Z與3Z的聯集中，但其總和5則不是。
若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得an = e的正整數，且n被稱為是a的“目”。若<a>同構於Z，則a會被稱有“無限目”。
任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集“所產生”的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。
