雙代數概念
雙代數（bialgebra）是指一種代數系統。它既有代數結構，又有餘代數結構，且兩種結構具相容性。設(B，μ，η)是R代數，且(B，Δ，ε)是R上的余代數，其中μ是B的乘法映射，η是刻畫B的單位元的映射。若Δ和ε都是R代數同態(等價於μ，η都是R余代數同態)，則(B，μ，η，Δ，ε)稱為R上的雙代數。
代數系統
抽象代數學研究的對象，是20世紀20年代在 初等數學基礎上發展起來的一門學科，它在數學各領域均有套用，近年來並大量用於計算機領域。
抽象代數學是研究由非特定的任意元素組成的 集合及定義在元素之間滿足若干條件或公理的代數 運算所組成的系統的數學分支。設S為一非空集合， S上的n維笛卡兒積S到S的映射f：S→S稱為S上的n元運算。最常見的是一元 運算S： S→S和二元運算f：S→S。如在實數集上 求相反數是一元運算，實數的加法和乘法是二元運 算。非空集合S和S上的k個運算f，f，…，f組 成的系統，稱作代數系統，記做〈S，f，f，…，f〉。 代數系統也稱作代數結構。代數系統包括半群、群、 環、域和格等。下面用Z、Q、R和C分別表示整 數集合、有理數集合、實數集合和複數集合。
二元運算的性質
在代數系統中常將一元運算f(a)記為*a，二元 運算f(a，b)記為a*b。設·與*為非空集合S上的二 元運算。①冪等律： 若∀a∈S，a*a=a， 則稱*滿足冪 等律。 ②交換律： 若∀a， b∈S， a*b=b*a， 則稱*滿 足交換律。 ③結合律： 若∀a， b， c∈S， a*(b*c)=(a*b)*c，則稱*滿足結合律。④分配律： 若∀a， b， c∈S， a·(b*c)=(a·b)*(a·c)且(b*c)·a=(b·a)* (c·a)，稱·對*滿足分配律。⑤吸收律： 若·與*滿足 交換律且∀a， b∈S， a*(a·b)=a， a·(a*b)=a， 則稱· 與*滿足吸收律。例如，集合的並、交運算滿足冪等 律、交換律、結合律，並對交和交對並滿足分配律， 並與交滿足吸收律; 實數集合上的加法、乘法都滿 足交換律和結合律，但不滿足冪等律。乘法對加法 滿足分配律，但加法對乘法不滿足分配律，加法與 乘法不滿足吸收律; 矩陣乘法滿足結合律，但不滿 足交換律。
二元運算的特異常數
設*為集合S上的二元運算。①單位元：設e∈S， 若∀a∈S， e*a=a*e=a，則稱e為S關於運算*的單位 元。 ②零元： 設θ∈S， 若∀a∈S， θ*a=a*θ=θ， 則 稱θ為S關於運算*的零元。③逆元：設*為S上的二 元運算，e為單位元，a∈S，若存在b∈S使得 b*a=a*b=e，則稱b為a關於運算*的逆元，常記作 a。此時又稱a是可逆的。例如，在實數集合上， 0是關於加法的單位元，而1是關於乘法的單位元。 0是關於乘法的零元。對任意的z，z關於加法的逆 元為-z： 當z≠0時，z關於乘法的逆元為1/z。
群論： 一種重要的代數系統
半群： 若G上的二元運算*滿足結合律，則稱 代數系統〈G，*〉為半群。
獨異點： 有單位元的半群。
群： 每個元素都可逆的獨異點，即群是滿足下 述3個條件的代數系統〈G，*〉： ①二元運算*滿 足結合律， ∀a， b， c∈G， a*(b*c)=(a*b)*c; ②G有 單位元e，∀a∈G， a*e=a*e=a;③G的每一個元素a 有逆元a，a*a=a*a=e。群〈G，*〉可簡記為G。 例如，任一集合S的冪集P(S)關於並(交)運算構成 獨異點， 其中空集∅(集合S)是單位元; 設∑是一非 空集合，∑*是∑中有限長字元串的全體， “”表示 兩個字元串的連線，如abaobba=ababba，則〈Σ*，〉是一個獨異點， 其中空串是單位元;整數集合關 於加法構成一個群，稱作整數加法群，類似地還有 有理數加法群、實數加法群;設n是正整數，記 Z={0，1，…，n-1}，Z={1，2，…，n-1}，定 義模n加法⨁和模n乘法⨂如下：∀x，y∈Z， x⨁y= (x+y)mod n，x⨂y=xy mod n，則〈Z，⨁〉是群， 稱 作模n加法群; 〈Z，⨂〉是獨異點;當n為素數時， 〈Z， ⨂〉是群， 稱作模n乘法群。
子群： 設〈G， *〉， HG是一非空集合， 若〈H， *〉構成一個群，則稱H是G的子群。例如，有理數 加法群是實數加法群的子群，整數加法群是有理數 加法群的子群、也是實數加法群的子群。
有限群與無限群： 只有有限個元素的群稱為有 限群，否則稱為無限群。有n個元素的有限群稱作 n階群。例如，模n加法群是n階有限群，整數加 法群是無限群。n階群的子群的階必是n的因子。
交換群： 運算是可交換的群，又稱阿貝爾群。 例如，整數加法群是交換群; 全體n階可逆矩陣關 於矩陣乘法構成群，它不是交換群。在群中，a*b 常簡記作ab，n個a的運算a*a*…*a記作a，稱作 a的n次冪，規定a=e。
在群中，①滿足消去律，即若ab=ac(或ba=ca)， 則b=c; ②方程ax=b和xa=b均有唯一解，它們的 解分別為x=ab和x=ba。
循環群： 一類最簡單且套用廣泛的群。若群G 的每一個元素都可以表示成某個元素a的冪，則稱 G是循環群，a是G的生成元，記做G=〈a〉。n階 循環群可表示成{e，a，a，…，a}，無限循環群 可表示成{e，a，+，a，…}。例如，整數加法群 是無限循環群，有兩個生成元1和-1;模n加法群 是循環群，1是一個生成元，還可能有其他的生成 元。如模10加法群有4個生成元1，3，7和9。循 環群都是交換群，循環群的子群都是循環群。
環和域
在非空集合S上定義兩個二元運算+和·(分別 稱為“加法”和“乘法”)。若代數系統〈S，+〉是 交換群，〈Z，·〉是半群，且·對+滿足分配律，即① 加法+滿足結合律和交換律，有單位元0，每一個 元素都有逆元; ②乘法·滿足結合律; ③·對+滿足 分配律， ∀a， b∈S， a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， (b+c)·a= (b·a)+(c·a)，則稱代數系統〈S，+，·〉為一個環。在 環中，加法的單位元0常稱為零元，a的加法逆元 稱作負元，記作-a。乘法可交換的環稱作交換環。
設〈S，+，·〉是一個環。如果乘法·有單位元、 是可交換的， 且∀a， b∈S， a≠0且b≠0蘊涵ab≠0， 則稱〈S，+，·〉是整環。如果〈S*，·〉也構成群，其 中S*=S-{0}，則稱〈S，+，·〉是除環。乘法·是可 交換的除環稱作域。
例如，有理數集、實數集和複數集關於加法和 乘法都構成域，分別稱為有理數域、實數域、複數域。整數集關於加法和乘法構成整環。對任意的整 數n≥2， 〈Z， ⨁， ⨂〉是環；當n是素數時， 〈Z，⨁， ⨁〉是域。
余代數
余代數是代數的對偶概念。設C是R模，Δ是一個R線性映射C→CC，被稱為余乘法或對角映射；ε是一個R線性映射C→R，稱為余單位元或增廣。R上的余代數是指滿足以下二交換圖的三元組(C，Δ，ε)：
余代數雙代數實例
群雙代數
雙代數
雙代數雙代數的示例是從群G到的函式集合，可以表示為向量空間由標準基向量的線性組合而成，例如對於每個g∈G，其可以表示在係數全部的向量的情況下在G上的機率分布非負數，並且總和為1。產生雙代數的合適的運算的一個例子是：
雙代數 雙代數其代表了產生隨機變數的過程（我們通過線性擴展到所有，以及：
雙代數 雙代數（再次線性地延伸到所有），它表示“跟蹤”一個隨機變數 - 即忘記隨機變數的值由單一張量因子表示）以獲得剩餘變數（剩餘張量因子）的邊際分布。給出如上所述對（Δ，ε）的機率分布的解釋，雙代數一致性條件等於（∇，η）的約束如下：
η是準備與所有其他隨機變數無關的歸一化機率分布的運算符;
產品∇將兩個變數上的機率分布映射到一個變數上的機率分布;
複製由η給出的分布中的隨機變數相當於在分布η中有兩個獨立的隨機變數;
以兩個隨機變數的乘積和準備所得到的隨機變數的副本具有與每個隨機變數相互獨立的準備副本並將它們成對地相乘的分布。
滿足這些約束的一對（∇，η）是卷積運算符
雙代數
雙代數
雙代數再延伸到所有，這從兩個隨機變數上的分布產生一個歸一化的機率分布，並以delta分布作為一個單位，其中i∈G表示群G中的單位元素。
其他例子
雙代數的其他例子包括張量代數，它可以通過添加適當的聯合和協同來形成一個雙代數。
如果可以找到適當的對映體，則可以將雙代數擴展到Hopf代數。因此，所有Hopf代數都是雙代數的例子。
