希爾伯特形式主義派

希爾伯特建議形式主義原則：所有符號完全看做沒有意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結構性質

一般認為形式主義的奠基人是希爾伯特，但是希爾伯特自己並不自命為形式主義者。並且，希爾伯特的思想有一個發展變化的過程，我們簡單地介紹一下。希爾伯特是二十世紀最有影響的數學家，他不僅是數學上一些分支的公認權威，而且恐怕也是最後一位在幾乎所有數學領域中都做出偉大貢獻的全才。更重要的是，他對於數學基礎問題有著長時期的持久關注，他的思想在現代數學也占有統治地位。
大衛·希爾伯特，1862年1月23日出生在東普魯士的哥尼斯堡。他一直在家鄉上學，1885年取得博士學位，1886年就任哥尼斯堡大學講師。1888年因為解決了不變式理論中著名的“哥爾丹問題”開始在數學界嶄露頭角，1891年他升任副教授，1893年升任教授。1895年，他應克萊因之邀，任哥丁根大學教授，由此開闢了哥丁根大學的黃金時代。他在哥丁根大學任教至1930年退休，其間培養了各國數學家，單是他指導的博士論文就有五、六十篇。由於他的影響，哥丁根成為世界數學的中心，繁盛了三、四十年，一直到希特勒掌權後才迅速地衰落下去。晚年學生大都離開，他於1948年2月14在孤寂中逝世。
希爾伯特前期主要供獻在不變式論方面。1895年左右，他寫了代數數論的總結性巨著。二十世紀開始時，他的興趣轉向分析及物理學。從十九世紀末，他對數學基礎做出重大貢獻。為了方便起見，不妨把他關於數學基礎和數理邏輯的主要著作開列如下：
1899年，《幾何學基礎》，本書多次宣印及再版，生前最後一版為第七版(1930年)。正文部分有中釋本。
1900年，實數的公理化，以及“數學問題”
1904年，在海德堡國際數學家大會上的講演—“論邏輯和算術的基礎”
1917年，公理化思想
1922年，“數學的新基礎”，以及“數學的邏輯基礎”
1925年，論無窮
1927年，數學基礎
1928年“數學基礎問題”在義大利波洛那國際數學家大會上講演；《理論邏輯綱要》(同阿克曼台著)，本書很快成為標準著作。1938年第二版，1949年第三版，有中譯本，莫紹接譯《數理邏輯基礎》，1959年第四版，阿克曼做了很大的改動。
1930年，“初等數論基礎”“邏輯及對自然的認識”
1931年，“排中律的證明”
1934年，《數學基礎》Ⅰ；1939年，《數學基礎》Ⅱ，這兩本書與貝納斯合著
從希爾伯特的著作看來，希爾伯特提出了大部分形式主義觀點，但他並沒有把它們絕對化。他的觀點有些地方同邏輯主義、直覺主義有著共同之處。這反映出某種矛盾，應該說這種矛盾是數學家的哲學思想上的矛盾。
關於數學中的存在，他認為不限於感覺經驗的存在。在物理世界中，他認為沒有無窮小、無窮大和無窮集合，但是在數學理論的各個分支中卻都有無窮集合，如自然數的集合，一個線段里所有點的集合等等。這種不是經驗能夠直接驗證的對象，他稱之為“理想元素”。引進理想元素的方法在數學中其實由來已久，比如代數中虛數的引進，幾何中無窮點的引進，微積分中無窮小與無窮大的引進等等。但是理想元素的引進必須不把矛盾帶到原來的較窄狹的領域內。由於理想元素不能靠直觀經驗來驗證，只能靠邏輯來驗證，因此合理性的唯一判據就是無矛盾性。這種無矛盾性的真理觀實際上是形式主義基本論點。
但是希爾伯特並不抱這種極端和絕對的看法，他看到引進新元素往往是對於舊元素的一種擴張，所以很自然地要求擴張之後增加的新元素仍能保留舊元素的大部分基本性質，就象數的擴張仍能使加法交換律保持成立。當然這樣也就在一定意義下限制了擴張的任意性，這也是因為對於搞研究的數學家來講，引進新概念是為了需要，而不是“遊戲”，所以希爾伯特還認為“需要有相應的成果”，而且這是“至高無上的裁判”。把這個標準弄進來，反而使得標準變得模糊不清。
但是在什麼情況下，關於理想元素的命題為真呢？這個問題，希爾伯特不認為每個個公式都必須得到驗證，每一個概念都必須得到解釋，然後通過直觀驗證。
在1900年的《論數的概念中》，希爾伯特提議用公理化方法來代替“生成的”方法。在《幾何學基礎》中，希爾伯特超過解析幾何選出的算術模型來證明他的幾何公理的無矛盾性。這樣證明的是相對無矛盾性，也就是把幾何學的無矛盾性歸於實數的算術公理的無矛盾性。於是他在1990年國際數學家大會上把算術公理的無矛盾性列為他那著名23個問題中的第二個。他沒有指出任何解決這個問題的途徑，而只是強調相對無矛盾性的證明沒有問題。
不久，羅素悖論變得眾所周知，從而無矛盾性問題變得更加緊迫。於是，希爾伯特在1904年在德國海德堡召開的國際數學家大會上提出第一個證明算術無矛盾性的打算。事實上，這是現代這方面研究的原型。他的草案是：要證明某些初等公式具有無矛盾性，並且推演規則傳遞這個性質。
在這篇題為《論邏輯和算術的偽基礎》的報告開頭，希爾伯特評論對於算術基礎的不同看法。他認為，克洛耐克是教條主義者，因為他原原本本地接受整數及其所有重要性質，他不再深入下去探求整數的基礎。德國科學家赫姆霍茨是經驗主義者，按照他的說法，任意大的數不能夠由我們的經驗得出，因此是不存在的。另外有一些人，特別是德國數學家克里斯多弗張反對克洛耐克的觀點。他們認為，要是沒有無理數的概念，整個數學分析就勢必要垮掉。於是他們企圖找尋正面的、肯定的性質來確認無理數的存在。但是，他認為這種觀點是不徹底的，因此說他們是機會主義的。這幾種觀點，希爾伯特都表示反對。
希爾伯特認為比較深入的觀點是下面幾種：一是弗雷格的邏輯主義，他把數學規則建立在邏輯的基礎上；二是戴德金的先驗主義，他是根據哲學上的論證來推斷無窮的存在，不過他對數的論述中包含著“所有對象的集合”這類矛盾了；三是康托爾的主觀主義觀點，他清楚地區分“相容集”及“不相容集”。但是他沒有提供明顯的判據，因此缺乏客觀的可靠性。
希爾伯特認為所有困難都可以通過給數的概念建立完全而嚴格的基礎而得到克服，這就是公理化方法。1904年以後，希爾伯特把主要精力放在研究積分方程等分析問題以及物理學公理此等方面，沒有發表什麼數學基礎方面的著作。這時，各種流派進行的激烈鬥爭，也不能不使希爾伯特關心。尤其是布勞威爾直覺主義的出現，他感到對於整個數學的生存和發展是個極大的威脅，於是他開始投入戰鬥。
從1917年起的二十多年時間裡，他為了挽救古典數學竭盡全力。1917年他在蘇黎世發表一篇演說，題目是“公理思想”。這篇文章全面敘述了一些與認識論有關的問題，如數論和集合論的無矛盾性，每個數學問題的原則上可解性，找出數學說明的單純性，的標準數學中內容與形式表示的關係，數學問題通過有限步驟的可判定性問題。這些問題預示著後來數理邏輯的發展。他認為，要想深入研究就必須對數學證明的概念進行深入的研究。既然邏輯推理可以符號化，進行數學的研究，為什麼證明不行呢？他提出了證明論的一般思想和目標，但是沒有具體化。
希爾伯特他第一篇證明論的工作是1922年發表的，在《數學的新基礎：第一篇》中，他論述如何把數論用有限方法討論，而數學本身卻一般須用超窮方法。他指出用符號邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接當做研究對象。在1922年在德國自然科學家協會萊比錫會議上，他做了《數學的邏輯基礎》的演講，更進一步提出了證明方法。要求有限主義，即經過有限步不推出矛盾來即為證明可靠，這稱為希爾伯特計畫。
其實早先弗雷格已經堅持認為需要有明顯的符號系統，明顯的公理及推演規則，明顯的證明。希爾伯特定走的更遠，他提出這樣一種明顯理論本身也做為一種數學研究的對象，且套用適當的方法來判定它是否無矛盾，這種做法一般稱為元數學。
希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號完全看做沒有意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式對象，研究它們的結構性質；二、有限主義原則，即總能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否一個證明。套用數學方法於這樣一個形式理論，避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的方法。這個思想是只套用靠得住的方法，因為要證明數學或其一部分無矛盾的方法是大家公認可靠的，整個數學才有牢固的基礎。