布爾乘法

布爾乘法

布爾乘法亦稱布爾交(記為∩)或布爾合取(記為∧)或布爾積,指布爾代數B=〈B,+,·,′,0,1〉中記為·的二元運算,對任意給定的兩個元素a,b∈B,經乘法運算後得到一個確定的元素d∈B,記為d=a·b,d稱為a,b的布爾積 。

基本信息

基本介紹

兩個變數的布爾乘法(Boolean multidplication,即ANDing)記為AB,並把它稱為乘積項。三個變數的布爾乘法可以表示為ABC,類似地,可以表示任意多個變數。當然,也可以用其他字母來代替A,B,C。這與常規代數的變數乘法的表示相同。有時在代數表達式中,變數之間會使用圓點( ·)來表示乘法,如A ·B;有時還會使用圓括弧,如(A)(B),特別是當表達式中項數很多時 。

在元素不多的情形下,常可用列表法確定布爾乘法,下面是含且僅含4個元素的布爾代數的乘法表,表中最左一列表示乘法的第一個元素,最上一行表示乘法的第二個元素,各對應行列交叉處記的是兩者的布爾積。特別,對二元布爾代數,其布爾乘法若且唯若兩個元素a,b∈B都是1時,a·b才是1,否則a·b是0(參見“二元布爾代數”) 。

圖1 圖1

布爾乘法的運算律

下面的運算律也稱為布爾代數的運算律。

布爾代數的運算律是布爾代數的基本運算法則,布爾代數〈B,+,·,′,0,1〉有如下運算律,對B中任意元素a,b,c,有 :

1.結合律:(a+b)+c=a+(b+c) ,

(a·b)·c=a·(b·c).

2.交換律:a+b=b+a, a·b=b·a.

3.分配律:a·(b+c)=(a·b)+(a·c),

a+(b·c)=(a+b)·(a+c).

4.吸收律:a+a·b=a, a·(a+b)=a.

5.冪等律:a+a=a, a·a=a.

6.德·摩根律(反演律):(a+b)′=a′·b′,

(a·b)′=a′+b′.

7.對合律(雙重否定律):(a′)′=a.

8.互補律:a+a′=1, a·a′=0.

9.零一律(麼元律):a+0=a, a·1=a.

10.囿元律(極元律):a+1=1, a·0=0.

布爾乘法和與門電路

根據布爾代數,與門是一個乘法器。這與常規的十進制乘法運算相同,因為0乘以1等於0,1乘以1等於1,正如與門真值所示。布爾乘法等價於一個與門電路,其基本法則用與門表示如下 :

圖2 圖2

與門的布爾表達式

(1)2輸人與門運算的布爾代數表達式為:

布爾乘法 布爾乘法

該布爾表達式表明:輸出X等於輸入A和B的乘積(與),讀作“X等於A與B”。

為了計算X=AB,先看看該式是如何描述與門運算的,將1或0代人每個變數。兩個變數,共有2 =4種輸入狀態組合。

當A=0,B=0:X=AB=0·0=0

當A=0,B=1:X=AB=0·1=0

當A=1,B=0:X=AB=1·0=0

當A=1,B=1:X=AB=1·1=1

(2)3輸人與門運算的布爾代數表達式為:

布爾乘法 布爾乘法

遍歷所有可能的輸入狀態組合(2 =8),代人二進制數值,計算其輸出結果。對應的真值表參見表1 。

表1
ABC
布爾乘法 布爾乘法
0000
0010
0100
0110
1000
1010
1100
1111

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