定義
在幾何學中, 對頂角是兩個角之間的一種位置關係。兩條直線相交時會產生一個交點,並產生以這個交點為頂點的四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為 對頂角。或者說,其中的一個角是另一個的對頂角。
對頂角滿足下列定理: 兩直線相交,對頂角相等。
用數學語言描述就是:
設直線AD、BC交於點O。則形成四個角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互為對頂角,∠AOC和∠BOD互為對頂角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。
例子
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如圖1, 兩條直線相交,構成兩對對頂角。∠1與∠3為一對對頂角,∠2與∠4為一對對頂角。
注意:
1.對頂角一定相等,但是 相等的角不一定是對頂角。
2.對頂角必須有共同頂點。
3.對頂角是成對出現的。
在證明過程中使用對頂角的性質時,以 圖1為例,
∴∠1=∠3,∠2=∠4(對頂角 相等)。
巧算對頂角
任何兩條直線可以看成一個組合,這樣的組合有C(n,2)=n(n-1)/2 ,每個組合有兩對對頂角 ,因此n條直線相交於一點,共有2C(n,2)=n(n-1)對。即:
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2條直線相交於一點,有(2)對不同的對頂角;
3條直線相交於一點,有(6)對不同的對頂角;
4條直線相交於一點,有(12)對不同的對頂角;
..............
n條直線相交於一點,有n(n-1)對不同的對頂角。
性質
如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等。
在同一平面內,互為對頂角的兩個角相等。
歷史
勒斯生於希臘,是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生髮現了多個幾何學定理,包括等腰三角形中的“等邊對等角”定理,也包括對頂角定理。
對頂角定理
設直線 AD、 BC交於點 O,那么,∠AOB和∠AOC 互為鄰補角。根據鄰補角的性質,
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其中是一個平角的弧度數。
類似地,∠COD和∠AOC 互為鄰補角。根據鄰補角的性質,

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因此,

兩邊減去相同的角度 後,就得到
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。
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同樣地,可以證明。
用途
對頂角通常用於測量角度以及證明全等三角形。以下是一個利用對頂角證明全等三角形的例子:

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如右圖,已知AB=CD,∠BAE=∠CAE。求證:。
證明:在△ABE與△DCE中,
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因此,。
在以上證明中,∠AEB=∠CED的結論就是通過對頂角定理得出的。注意,在一般的幾何證明中,對頂角定理並不需要顯式地敘述出來,可以當作是默認的條件。