公式
也可表示為設S為有限集，則兩個集合的容斥關係公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三個集合的容斥關係公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C詳細推理如下：
1、等式右邊改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C
2、文氏圖分塊標記如右圖圖：1245構成A，2356構成B，4567構成C
3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分：
那么A∪B∪C還缺部分7。
4、等式右邊[]號里+C（4+5+6+7）後，相當於A∪B∪C多加了4+5+6三部分，
減去B∩C（即5+6兩部分）後，還多加了部分4。
5、等式右邊{}里減去C∩A（即4+5兩部分）後，A∪B∪C又多減了部分5，
則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。
嚴格證明
對於容斥原理我們可以利用數學歸納法證明：證明：當時，等式成立(證明略)。
假設時結論成立，則當時，
所以當時，結論仍成立。因此對任意，均可使所證等式成立。[
原理
原理1
如果被計數的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數總和=屬於A類元素個數+屬於B類元素個數—既是A類又是B類的
容斥原理例1 一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？
分析
依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“A類和B類元素個數”的總和。
答案
15+12-4=23
試一試
電視台向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？
100-（62+34-11）=15原理2
如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數總和=A類元素個數+B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）
例1
某校六⑴班有學生45人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？
分析：參加足球隊的人數25人為A類元素，參加排球隊人數22人為B類元素，參加游泳隊的人數24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設為X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓練隊，所以這個班的總人數即為A類B類和C類的總和。
答案：25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3
例2
在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？
分析：顯然，這是一個重複計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被重複計算的數，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數”。我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個（想一想，這是為什麼？）同理，可以求出其他的條件。
例3
分母是1001的最簡分數一共有多少個？
分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數。由於1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。
解答：1~1001中，有7的倍數1001/7=143（個)；有11的倍數1001/11=91（個），有13的倍數1001/13=77（個）；有7´11=77的倍數1001/77=13（個），有7´13=91的倍數1001/91=11（個），有11´13=143的倍數1001/43=7（個）.有1001的倍數1個。
由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的數有（143+91+77）-（13+11+7）+1=281（個），從而不能被7、11或13整除的數有1001-281=720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分數有720個。
例4
某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試後，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優秀，其餘每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：
短跑
游泳
投擲
短跑、游泳
短跑、投擲
游泳、投擲
短跑、游泳、投擲
17
18
15
6
6
5
2
求這個班的學生共有多少人？
分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）
試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什麼都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？
（30+25+5）-42=18（人）
例5
在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？
分析：
很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。
若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重複的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？
解答
解一：（10，12，15）=60，設木棍60厘米
60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米
10等分的為第一種刻度線，共10－1=9條
12等分的為第二種刻度線，共12－1=11條
15等分的為第三種刻度線，過15－1=14條
第一種與第二種刻度線重合的（6，5）=30，60÷30－1=2－1=1條
第一種與第三種刻度線重合的（6，4）=12，60÷12－1=5－1=4條
第二種與第三種刻度線重合的（5，4）=20，60÷20－1=3－1=2條
三種刻度線重合的沒有，（6、5、4）=60
因此，共有刻度線9+11+14－1－4－2=27條，木棍總共被鋸成27+1=28段。
解二：總長看成單位1分別分成10、12、15段。1/10與1/12的最小公倍數1/2，1/10與1/15的最低公倍數1/5，1/12與1/15的最低公倍數1/3，1/10，1/12和1/15的最低公倍數為1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28
解三：
10、12、15的最低公倍數是60，假設木棍就是長60，
1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是
0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60
2、分成12等分的每份就是5，
0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60
3、分成15等分的每份就是4，
0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60
4、把相同刻度的合併，就是有刻度如下：
0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60
