歐拉定理
定理 簡單多面體的頂點數V、棱數E及面數F間有關係
V+F-E=2
公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律
定理的證明
分析:以四面體ABCD為例。
將它的一個面BCD去掉,再使它變為平面圖 形,四面體的頂點數V、棱數E與剩下的面數F1變形後都沒有變(這裡F1=F-1)。因此,要研究V、E和F的關係,只要去掉一個面,將它變形為平面圖形即可。
只需平面圖形證明:V+F1-E=1
(1)去掉一條棱,就減少一個面,V+F1-E的值不變。例如去掉BC,就減少一個面ABC。同理,去掉棱CD、BD,也就各減少一個面ACD、ABD,由於V、F1-E的值都不變,因此V+F1-E的值不變
(2)再從剩下的樹枝形中,去掉一條棱,就減少一個頂點,V+F1-E的值不變。例如去掉CA,就減少一個頂點C。同理去AD就減少一個頂點D,最後剩下AB。
在以上變化過程中,V+F1-E的值不變,
V+F1-E=2-0-1=1,
所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。
對任意的簡單多面體,運用這樣的方法,都是只剩下一條線段。公式對任意簡單多面體都是正確的。
定理的意義
(1)數學規律:公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、棱數之間特有的規律;
(2)思想方法創新訓練:在定理的發現及證明過程中,在觀念上,假設它的表面是橡皮薄膜製成的,可隨意拉伸;在方法上將底面剪掉,然後其餘各面拉開鋪平,化為平面圖形(立體圖→平面圖)。
(3)引入拓撲新學科:“拉開圖”與以前的展開圖是不同的,從立體圖到拉開圖,各面的形狀,以及長度、距離、面積、全等等與度量有關的量發生了變化,而頂點數,面數,棱數等不變。
事實上,定理在引導大家進入一個新幾何學領域:拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料(如橡皮波)做成的圖形,拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
(4)給出多面體分類方法:
在歐拉公式中,令 f(p)=V+F-E,f(p)叫做歐拉示性數。定理告訴我們,簡單多面體的歐拉示性數f (p)=2。
除簡單多面體外,還有不是簡單多面體的多面體。例如,將長方體挖去一個洞,連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面,而能變為一個環面,它的歐拉示性數為f (p)=16+16-32=0,
所以帶一個洞的多面體的歐拉示性數等於零。
歐拉定理又一證法
如圖(1)多面體,設頂點數V,面數F,棱數E。剪掉一個面,將其餘的面拉平,使它變為平面圖形,如圖(2)
我們在兩個圖中求所有面的內角總和Σα
一方面,在圖(1)中利用面求內角總和。
設有F個面,各面的邊數分別為n1,n2,…,nF,
各面的內角總和為:
Σα = [(n1-2)•1800+(n2-2)•1800 +…+(nF-2) •1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) •1800
=(2E-2F) •1800 = (E-F) •3600 (1)
另一方面,在圖(2)的拉開圖中,利用頂點來求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形,其內角和為(n-2)•1800,則所有V個頂點中,有n個頂點在邊上,V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)•3600,邊上的n個頂點處的內角和(n-2)•1800。所以,多面體所有各面的內角和為:
Σα = (V-n)•3600+(n-2)•1800+(n-2)•1800=(V-2)•3600. (2)
由(1)(2)得
(E-F) •3600 =(V-2)•3600
所以 V+F-E=2.
簡單多面體
表面經過連續變形可以變為球面的多面體叫做簡單多面體