概念介紹
單純同調群是一個重要的拓撲不變數，它也是同倫型不變數。復形K的鏈群、閉鏈群和邊緣鏈群與多面體|K|的單純剖分有關，因此它們不可能是拓撲不變數。然而閉鏈群關於邊緣鏈群的商群Z(K)/B(K)是與剖分無關的，稱這個商群為K的q維單純同調群，簡稱q維同調群，記為H(K)。同調群是交換群。當q<0或q>dim K時，按照鏈群推廣到所有整數維數的規定，有H(K)=0。同調群的重要性在於H(K)是多面體|K|的同倫型不變數，更是拓撲不變數。它有很多重要套用。同調群中的元素是閉鏈群中的元素按邊緣鏈群的陪集分解的等價類。精確地描述如下：設z和z′為兩個q維閉鏈，若z-z′∈B(K)，則稱它們是同調的，記為z～z′.若z為邊緣鏈，即z為B(K)的元素，則稱在K上z同調於0或稱z是K上的零調鏈，記為在K上z～0.這種同調關係是Z(K)上一個等價關係，按同調關係分成的等價類稱為同調類，並且用[z]表示閉鏈z所屬的同調類。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
性質1——交換群
單純同調群交換群是指其運算適合交換律的群，或稱阿貝爾群。挪威數學家阿貝爾在研究高次方程的根式求解時，除了五次方程以外，他討論了更廣一類的方程，現稱之為阿貝爾方程。其全部根都是其中一個根的有理函式，設x是n次阿貝爾方程的一個根，其全部根則為，其中Q(i=1，…，n-1)是有理函式，並且對於任意的1≤i≤j≤ n，有Q(Q(x))=Q(Q(x))。後人發現，阿貝爾方程是具有交換律的伽羅瓦群的方程。為了紀念阿貝爾，後人稱交換群為阿貝爾群。
交換群是一般群論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換群，作為討論問題的工具。例如，拓撲學中的基本群、同調群，代數學中的布饒爾群等等。交換群論與代數拓撲學、模論、同調代數、環論等有著密切的聯繫。
性質2——同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
相關群
上同調群
上同調群是一種重要的拓撲不變性質。可仿照線性空間的對偶空間的定義方式引入上同調群。若K是一個n維單純復形，C(K)是q維整係數鏈群，則同態c：C(K)→Z(整數加群)稱為K的一個q維上鏈.對於任意兩個q維上鏈c和d，它們的和是這樣的上鏈，它在任意x∈C(K)上取值：
(c+d)(x)=c(x)+d(x)，
所有q維上鏈在上述加法下成為一個交換群，它就是同態群Hom(C(K)，Z)，稱為K的q維上鏈群，記為C(K).為區別起見可把原來的鏈群C(K)稱為下鏈群.對於原來的邊緣同態可用對偶同態來定義上邊緣同態運算元，設：
： C(K)→C(K)，
定義δ：C(K)→C(K)，對於K的q維上鏈c，δc是一個q+1維上鏈，它在任意x∈C(K)上取值為：
δc(x)=c(x).
從而δ°δ=0(或寫成δ°δ=0).由此可定義C(K)的子群：
Z(K)=ker δ 與 B(K)=Im δ，
分別稱為q維上閉鏈群與上邊緣鏈群。商群：
H(K)=Z(K)/B(K) (q∈Z)
稱為復形K的q維上同調群，這些群中元素分別稱為上閉鏈、上邊緣鏈與上同調類。相應原來的同調群可稱為下同調群。
設f：K→L是單純映射，f={f：C(K)→C(L)|q∈Z}是這單純映射誘導的鏈映射，f的對偶同態f：C(L)→C(K) (q∈Z)定義為，對於任意c∈C(L)，f(c)是K的q維上鏈，在K的q維鏈x上取值(f(c))(x)=c(f(x)).它滿足δ°f=f°δ，稱f為上鏈映射，因此f誘導出上同調群之間的同態：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意與f：K→L方向相反).同樣地，可研究鏈同倫、連續映射用單純逼近定理得到的誘導同態和類似於下同調群之間誘導同態的性質，所以上同調群也具有拓撲不變性、同倫型不變性.設K是n維單純復形，其上、下同調群H(K)與H(K)的秩分別記為R與R，它們的撓子群分別記為T(K)與T(K) (q∈Z)，則上、下同調群之間有關係：
單純同調群其中T(K)理解為零群。這表明上同調群由下同調群完全決定。
弱同調群
同調群的一種弱化。設K是復形，z和z′為K的兩個閉鏈，若存在非零整數m使得m(z-z′)同調於0，則稱z和z′弱同調.同調的兩個閉鏈一定是弱同調的。閉鏈群Z(K)中同調於0的元素組成邊緣鏈群B(K)，而弱同調於0的全體元素就是B(K)在Z(K)中的除閉包B-(K)，稱為q維弱邊緣鏈群。商群：
Z(K)/B-(K)
稱為復形K的q維弱同調群，記為H-(K)。根據群論知識，可知H-(K)是一個有限維自由交換群。這為引入自由交換群自同態的跡數創造了條件。
