概念
同調流形(homology manifold)是一類重要的拓撲空間。設(X，A)為拓撲空間偶，若對於X-A中的每個點x，相對同調群H(X，X-{x})均為無限循環群，並且對於i≠n，H(X，X-{x})均為平凡群，則稱(X，A)為相對同調n流形。特別地，當A=時，稱相應X為同調n流形。拓撲流形均為同調流形，但同調流形未必是拓撲流形。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
流形
流形是一類特殊的連通、豪斯多夫仿緊的拓撲空間，在此空間每一點的鄰近預先建立了坐標系，使得任何兩個(局部)坐標系間的坐標變換都是連續的。n維流形的概念在18世紀法國數學家拉格朗日的力學研究中已有萌芽。19世紀中葉英國數學家凱萊(1843)、德國數學家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士數學家施勒夫利(1852)分別論述了n維歐幾里得空間理論，把它視為n個實變數的連續統。1854年德國數學家黎曼在研究微分幾何時用歸納構造法給出一般n維流形的概念：n維流形是把無限多個(n-1)維流形按照一維流形方式放在一起而形成的，從此開始流形的拓撲結構及其局部理論的研究。法國數學家龐加萊在19世紀末把n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維歐氏空間同胚的鄰域(被稱為龐加萊流形)，從而開闢了組合拓撲學的道路。
對流形的深入研究集中在流形上的微分結構與組合結構的存在性、唯一性問題，微分結構與組合結構的關係，流形的各種意義下的分類等問題，20世紀50—60年代做出許多重要結果，近幾十年來出現有限維帶邊流形和無限維流形概念。流形理論在與其他拓撲理論的相互結合發展中也提出許多問題，其研究仍在繼續。
拓撲流形
同調流形拓撲流形是一類特殊的流形。它是一種特定的豪斯多夫空間。在n維歐氏空間R 中，由x≥0定義的半空間記為R .一個豪斯多夫空間M，當其中每點p有同胚於R 或R 的開鄰域U(p)時，則稱M為n維拓撲流形。設∂R 為R 的邊界，當φ：U(p)R時，φ (∂R )中的點稱為M的邊界點。由內點不變性(布勞威爾區域不變定理)可知邊界點的定義與φ的選取無關，記M的全體邊界點之集為∂M，稱為流形M的邊界，補集IntM=M-∂M稱為M的內部。∂M=∅的流形M稱無邊流形，否則稱為帶邊流形。n維流形∂M的邊界M是n-1維無邊流形。緊緻無邊流形稱為閉流形，非緊緻無邊流形稱為開流形。存在連通但非仿緊的拓撲流形，1維這種流形稱為長直線，這種流形都不常見且具有較奇異的性質，下面討論均假定為仿緊豪斯多夫的，並且具有可數基，因而是度量空間。
單純同調群
單純同調群是一個重要的拓撲不變數，它也是同倫型不變數。復形K的鏈群、閉鏈群和邊緣鏈群與多面體|K|的單純剖分有關，因此它們不可能是拓撲不變數。然而閉鏈群關於邊緣鏈群的商群Z(K)/B(K)是與剖分無關的，稱這個商群為K的q維單純同調群，簡稱q維同調群，記為H(K)。同調群是交換群。當q<0或q>dim K時，按照鏈群推廣到所有整數維數的規定，有H(K)=0.同調群的重要性在於H(K)是多面體|K|的同倫型不變數，更是拓撲不變數。它有很多重要套用。同調群中的元素是閉鏈群中的元素按邊緣鏈群的陪集分解的等價類。精確地描述如下：設z和z′為兩個q維閉鏈，若z-z′∈B(K)，則稱它們是同調的，記為z～z′。若z為邊緣鏈，即z為B(K)的元素，則稱在K上z同調於0或稱z是K上的零調鏈，記為在K上z～0。這種同調關係是Z(K)上一個等價關係，按同調關係分成的等價類稱為同調類，並且用[z]表示閉鏈z所屬的同調類。
