概念
單純鏈映射(simplicial chain map)是由單純映射決定的鏈映射。設f：K→L是一個單純映射，定義同態如下：
單純鏈映射
單純鏈映射1.若 是K的一個有向單形，當 不相同時，記：
單純鏈映射當存在f(a)=f(a)且i≠j時，記f(s )=0。
2.對於任意鏈x=∑gs∈C(K)，記：
單純鏈映射當q<0或q>dim K時，規定f=0；則這一系列同態：
單純鏈映射是鏈映射，並把f={f}稱為單純鏈映射(詳細地，是由單純映射誘導的鏈映射)，這裡仍用f記單純映射f誘導的鏈映射，一般不會引起混淆。
單純映射
單純映射聯繫復形的多面體之間的一類重要映射。它是從復形K的多面體|K|到復形L的多面體|L|的連續映射，任何連續映射在某種意義下可用它逼近。設K和L是兩個復形，f：|K|→|L|是映射，若它滿足條件：
1.對於任意頂點a∈K ，有f(a)∈L (即L的頂點)。
單純鏈映射2.對於任意單形是L中某單形的頂點集(可能有重複)。
3.對於任意(a，a，…，a)∈K，
單純鏈映射有：
單純鏈映射則稱f為單純映射，也可簡記為f：K→L(省去多面體|K|，|L|的記號)。單純映射是連續映射；單純映射由限制在頂點集上的映射：
單純鏈映射完全決定。反之，對於頂點集之間的任意映射f ，只要f 把K中任意單形的頂點集映成L中某單形的頂點集，它就惟一地確定一個單純映射f：K→L。
映射
在數學裡，映射是個術語，指兩個元素的集之間元素相互“對應”的關係，為名詞。映射，或者射影，在數學及相關的領域經常等同於函式。 基於此，部分映射就相當於部分函式，而完全映射相當於完全函式。
兩個非空集合A與B間存在著對應關係f，而且對於A中的每一個元素x，B中總有有唯一的一個元素y與它對應，就這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B。其中，b稱為元素a在映射f下的象，記作：b=f(a)。a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域，記作f(A)。
或者說，設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。
映射，或者射影，在數學及相關的領域還用於定義函式。函式是從非空數集到非空數集的映射，而且只能是一對一映射或多對一映射。
映射在不同的領域有很多的名稱，它們的本質是相同的。如函式，運算元等等。這裡要說明，函式是兩個數集之間的映射，其他的映射並非函式。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種，即兩集合元素間的唯一對應，通俗來講就是一個對一個（一對一）。
注意：(1)對於A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每個元素都有原象（即滿射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即單射），則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個一一對應關係，也稱f是A到B上的一一映射。
鏈映射
鏈映射是聯繫復形的鏈群之間的一種系列同態。為了使復形的鏈群之間的同態能誘導出同調群之間的同態，因而它應將閉鏈與邊緣鏈分別映成閉鏈與邊緣鏈。設K與L都是復形，
單純鏈映射是一系列同態，若滿足條件：°f=f°，則稱f={f}為從K到L的鏈映射。它可理解為下圖具有交換性，即鏈映射具有將閉鏈映為閉鏈和將邊緣鏈映為邊緣鏈的性質，因此它誘導出同調群之間的一系列同態：
單純鏈映射稱為鏈映射f的誘導同態。同時具有性質，若：
單純鏈映射為鏈映射，則複合映射：
單純鏈映射也是鏈映射，並且誘導同態：
單純鏈映射這些概念可推廣到係數群為任意交換群G的情形。
