十二進制

十二進制是數學中一種以12為底數的記數系統，通常使用數字0~9以及字母A、B（或X、E）來表示。其中，A（或X）即數字10，B（或E）即數字11。美國速記發明人艾薩克·皮特曼還曾創造過一種標記法，使用翻轉的2和3來表示10和11。十二進制中的10代表十進制的12，也稱為一打。同樣的，十二進制的100代表十進制的144（=12^2），也稱為一羅；十二進制的1000代表十進制的1728（=12^3），也稱為一大羅；而十二進制的0.1則代表十進制的1/12。

基本信息

• 中文名：十二進制

• 概念：數學中一種以12為底數的記數系統
• 發明國：古巴比倫
• 套用：數學、計算機基礎套用

簡介

數學

12作為一個高合成數，2、3、4、6都是它的因子。正因為如此，十二進制比十進制在有些情況下更易於使用（除了1和10本身，10隻有2、5是它的因子）。另外，由於它的因子2和3都是素數，所有能分解為2和3的整數（如2、3、4、6、8、9……）等在十二進制中都是有限小數。而五個最常用的分數（1/2、1/3、2/3、1/4和3/4）在十二進制中也都有非常簡單的表示形式（分別為0.6、0.4、0.8、0.3和0.9）。12是擁有這一性質的最小的底數。在表示分數方面，除了六十進制外，十二進制要比其他常用的進制（諸如十進制、二進制、二十進制、八進制和十六進制）都更為方便。

套用

曆法

歷史上，在很多古老文明中都使用十二進制來記時。這或許是由於一年中月球繞地球轉十二圈，也有人認為這和人類一隻手有十二節指骨有關（不包括姆指，一根手指有三節指骨），這樣方便記數。如古埃及文明就將白天夜晚分別劃分為12部分，而從古巴比倫文明傳承到西方文化中的黃道十二宮則是將一年分為了12個星座。

在中國文化中，十二進制在記時中也有廣泛套用。中國古代設有12地支，與一天的12個時辰對應。一個地支還對應兩個節氣，從而表示一年的二十四節氣。同時，將地支與12種動物對應，成為十二生肖，來表示12年為周期的循環。

度量衡

十二進制在各種度量衡中也經常會使用。如英制單位中一英尺等於12英寸，金衡制中一金衡磅等於12金衡盎司。

歷史上，古羅馬帝國曾使用的Uncia，既是長度單位也是貨幣單位，其在拉丁文中的含義是1/12。而在推行十進制系統前，古代英國使用的十二進制與二十進制混合的貨幣系統，其中一先令等於12便士。

語言

使用十二進制的語言並不常見，其中包括奈及利亞中部地帶（Middle Belt）的一些語言如Janji、Gbiri-Niragu（Kahugu）、關達拉語（Gwandara）方言Nimbia，尼泊爾的車旁語（Chepang），以及印度米尼科伊島的迪維希語。在小說中，托爾金的精靈語用的也是十二進制。

日耳曼語族的語言對數字11和12都有特殊的對應單詞，如英語中的eleven和twelve、德語中的elf和zwölf，導致這些語言常被誤解為是基於十二進制的。事實上，從語源學上來看，兩者來自原始日耳曼語中的*ainlif和*twalif，字面含義為“剩下一個”和“剩下兩個”，因此這些語言都是基於十進制的。

乘法表

十二進制乘法表

1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

與十進制轉換

十二進制轉十進制

十二進制到十進制的轉換可按下面的例子進行：

（1000）12=1*12^3（12的3次方）+0*12^2（12的2次方）+0*12^1（12的1次方）+0*12^0（12的0次方）=（1728）10 （5B54012）12=5*12^6+11*12^5+5*12^4+4*12^3+0*12^2+1*12^1+2*12^0=1777678

十進制轉十二進制

十進制到十二進制的轉換可按下面的例子進行：

123456 ÷ 12 = 10288 ... 0 10288 ÷ 12 = 857 ... 4 857 ÷ 12 = 71 ... 5 71 ÷ 12 = 5 ... 11 (B) 5 ÷ 12 = 0 ... 5

將最右排的數從下往上依次寫下，即得到123456 = （5B540）12。

分數與無理數

分數

在十二進制中，很多分數能表示成十分簡單的形式：1/2 = 0.6

1/3 = 0.4
1/4 = 0.3
1/6 = 0.2
1/8 = 0.16
1/9 = 0.14

循環小數

通常，日常生活中遇到與3有關的除法問題比起與5有關的更多，因而如果使用十二進制來計數比起十進制遇到循環小數的可能性更小。這也是有些人支持十二進制的原因，他們認為既然一年有十二個月，使用十二進制在財務問題的計算上會方便很多。但在真正遇到循環小數的時候，十二進制的表示比起十進制通常又會有更長的循環項。這是因為12位於兩個素數11和13之間，而10則與一個合數9相鄰。儘管如此，在更多的情況下我們都對數字進行修約，這點上的區別並不是那么明顯。另外，由於12的因子分解中2出現了兩次，而10隻有一次，因而對於大多分母是2的冪的分數，十二進制的表示形式更簡短。如1/4=（0.25）10=（0.312）12，1/8=（0.125）10 =（0.1612）12，1/16=（0.0625）10=（0.0912）12，1/32=（0.03125）10=（0.04612）12等等。

十進制 底數的素數因子： 2, 5			十二進制 底數的素數因子：2, 3
分數	分母的素數因子	小數表示	小數表示	分母的素數因子	分數
1/2	2	0.5	0.6	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.4	3	1/3
1/4	2	0.25	0.3	2	1/4
1/5	5	0.2	0.24972497... = 0.2497	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.2	2, 3	1/6
1/7	7	0.142857	0.186A35	7	1/7
1/8	2	0.125	0.16	2	1/8
1/9	3	0.1	0.14	3	1/9
1/10	2, 5	0.1	0.12497	2, 5	1/A
1/11	11	0.09	0.1	B	1/B
1/12	2, 3	0.083	0.1	2, 3	1/10
1/13	13	0.076923	0.0B	11	1/11
1/14	2, 7	0.0714285	0.0A35186	2, 7	1/12
1/15	3, 5	0.06	0.09724	3, 5	1/13
1/16	2	0.0625	0.09	2	1/14
1/17	17	0.0588235294117647	0.08579214B36429A7	15	1/15
1/18	2, 3	0.05	0.08	2, 3	1/16
1/19	19	0.05263157894（和諧）7368421	0.076B45	17	1/17
1/20	2, 5	0.05	0.07249	2, 5	1/18
1/21	3, 7	0.047619	0.06A3518	3, 7	1/19
1/22	2, 11	0.045	0.06	2, B	1/1A
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.06316948421	1B	1/1B
1/24	2, 3	0.0416	0.06	2, 3	1/20
1/25	5	0.04	0.05915343A0B62A68781B	5	1/21
1/26	2, 13	0.0384615	0.056	2, 11	1/22
1/27	3	0.037	0.054	3	1/23
1/28	2, 7	0.03571428	0.05186A3	2, 7	1/24
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.04B7	25	1/25
1/30	2, 3, 5	0.03	0.04972	2, 3, 5	1/26
1/31	31	0.032258064516129	0.0478AA093598166B74311B28623A55	27	1/27
1/32	2	0.03125	0.046	2	1/28
1/33	3, 11	0.03	0.04	3, B	1/29
1/34	2, 17	0.02941176470588235	0.0429A708579214B36	2, 15	1/2A
1/35	5, 7	0.0285714	0.0414559B3931	5, 7	1/2B
1/36	2, 3	0.027	0.04	2, 3	1/30

無理數

無論對於十進制、十二進制還是其他以有理數為底數的記數系統，所有的無理數都只能表示成無限不循環小數。下表列出了一些代數無理數和超越無理數的十進制與十二進制的表示。

代數數	十進制	十二進制
根號2	1.41421356237309... (≈ 1.414)	1.4B79170A07B857... (≈ 1.5)
根號3	1.73205080756887... (≈ 1.732)	1.894B97BB968704... (≈ 1.895)
根號5	2.2360679774997... (≈ 2.236)	2.29BB132540589... (≈ 2.2A)
φ（黃金分割）	1.6180339887498... (≈ 1.618)	1.74BB6772802A4... (≈ 1.75)
超越無理數	十進制	十二進制
π（圓周率）	3.14159265（和諧）35897932384626433 8327950288419716939937510... (≈ 3.1416)	3.184809493B918664573A6211B B151551A05729290A7809A492... (≈ 3.1848)
e（自然對數的底）	2.718281828459045... (≈ 2.718)	2.8752360698219B8... (≈ 2.875)

下面是另一個重要常數歐拉-馬歇羅尼常數在十進制與十二進制中的表示（現在仍無法確定其是有理數還是無理數）：

數	十進制	十二進制
γ（歐拉-馬歇羅尼常數）	0.57721566490153... (~ 0.577)	0.6B15188A6760B3... (~ 0.7)

支持者

F·愛默生·安德魯斯（F. Emerson Adnrews）在其1935年出版的著作《新的數字：接受十二進制使數學更簡單》（New Numbers: How Acceptance of duodecimal Base Would Simplify Mathematics）中詳細地提出了一種基於十二進制的體系。安德魯斯寫到，由於12的因子在許多傳統度量衡中很普遍，很多所謂米制在計算上的優勢在十二進制中同樣存在。

十二進制和十六進制與二十進制一樣，一般都都以A代表10，而B代表11。而安德魯斯在他的書中提出了一種新的方案，使用手寫體的X和E，即X和E來分別代表10和11。原因是這兩個符號能與其他的字母與數字很好地區別開，同時X和X（即羅馬數字10）很相像，而E則是單詞eleven（即英文11）的首字母。

另一種知名的標記方法是艾薩克·皮特曼提出的，它主張用翻轉的2表示10，水平翻轉的3代表11。這一方案被大不列顛十二進制協會（Donzel Society of Great Britain）所採用，其優勢是與現有數字相似，比較容易辯認。而美國十二進制協會則用星號*和井號#分別代表10和11，原因在於*類似加上刪除線的X、#類似加上雙刪除線的11，而且兩者正好都能在電話撥號盤上找到。然而，批評者則指責說這些符號看起來完全不像數字。還有些系統用ɸ表示10（1與0的合體）以及交叉的十字+、x、或者†表示11。而所有這些符號的缺點是無法在計算器上通過七段LED數碼管來顯示（水平翻轉的3是個例外，但很多計算器上已經用E來表示錯誤信息了）。不過，10和11本身倒是能夠在一個數碼內顯示（11顯然可以，10需要進行翻轉，如同O加上了長音符號，即ō或0）。A和B也可以做到這一點，只是B需要改用小寫的b。

在美國動漫教學片《校舍搖滾》（schoolhouse Rock!）的一集中，描繪了一個外星小孩使用十二進制算術的場景，分別用dek、el和doh作為10、11和12的名稱，還使用安德魯斯的符號X和E來表示10和11。（dek來自前綴deca，el是eleven的縮寫，而doh是dozen的縮寫）

美國十二進制協會和大不列顛十二進制協會都在促進十二進制在更大範圍內的使用。他們還使用dozenal替代duodecimal（英語：十二進制），原因是後者來自拉丁語詞根，用十進制的方法來表示12，即將12拆為了2和10。

知名數學家亞歷山大·艾特肯（Alexander Craig Aitken）曾說“十二進制比十進制更易於掌握，使用十二進制進行計算會比用十進制快一半以上”，他還說如果十二進制的效率是100分的話，十進制只有65分或更低。

在里奧·弗蘭克斯基（Leo Frankowski）的小說《康拉德·施塔加德》（Conrad Stargard）中，康拉德在商人中引入了一種十二進制的體系，其中的買賣都是以一打或一羅作為單位來計數的。他還發明了一整套十二進制的度量衡，包括每天只有12個小時的時鐘。

支持過十二進制的還包括赫伯特·斯賓塞、約翰·昆西·亞當斯和蕭伯納等。