概念
定義
形如 A/B（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式注意：判斷一個式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，關鍵要滿足：分式的分母中必須含有字母，分子分母均為整式。無需考慮該分式是否有意義，即分母是否為零。
由於字母可以表示不同的數，所以分式比分數更具有一般性。
方法：數看結果，式看形。
分式條件
1.分式有意義條件：分母不為0。
2.分式值為0條件：分子為0且分母不為0。
3.分式值為正(負)數條件：分子分母同號得正，異號得負。
4.分式值為1的條件：分子=分母≠0。
5.分式值為-1的條件：分子分母互為相反數，且都不為0。
代數式分類
整式和分式統稱為有理式。
帶有根號且根號下含有字母的式子叫做無理式。
無理式和有理式統稱代數式。
分式的基本性質
分式分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：
（A,B,C為整式，且B、C≠0）
運算法則
約分
根據分式基本性質，可以把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。約分的關鍵是確定分式中分子與分母的公因式。
約分步驟：1.如果分式的分子和分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式，將它們的公因式約去。
2.分式的分子和分母都是多項式，將分子和分母分別分解因式，再將公因式約去。
公因式的提取方法：係數取分子和分母係數的最大公約數，字母取分子和分母共有的字母，指數取公共字母的最小指數，即為它們的公因式。
最簡分式：一個分式不能約分時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般將一個分式化為最簡分式。
| | 1 | 2 | 3 |
| 單項式/單項式 | 提公因式 | 約去公因式 | 結果 |
| 多項式/多項式 | 因式分解 | 提公因式 | 結果 |
| 單項式/多項式 | 因式分解 | 提公因式 | 結果 |
通分
根據分數的基本性質，異分母的分數可以通分，使幾個分數的的分母相同；同樣，根據分式的基本性質，分式也可以進行類似的變形，使幾個異分母分式的分母相同，而分式的值不變。
通分：把幾個異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。它與約分是互逆運算。
通分步驟：先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變為最簡公分母。同時各分式按照分母所擴大的倍數，相應擴大各自的分子。
最簡公分母的確定方法：係數取各因式係數的最低公倍數，相同字母的最高次冪及單獨字母的冪的乘積。
同分母加減
分式同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。用字母表示為：
。
異分母加減
分式異分母的分式相加減，通分化為同分母的分式，然後再按同分母分式的加減法法則進行計算。用字母表示為：
。
乘法
分式兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。用字母表示為：
。
除法
分式兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置後再與被除式相乘：
。
也可表述為：除以一個分式，等於乘以這個分式的倒數。
乘方
分式分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以約分的約分，最後化成最簡：
。
分式方程
基本簡介
分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
解法介紹
初二數學,分式方程(免費)科科通按課文順序北師大版呂文華.flv
分式①去分母{方程兩邊同時乘以最簡公分母（最簡公分母：①係數取最低公倍數；②出現的字母取最高次冪；③出現的因式取最高次冪），將分式方程化為整式方程；若遇到互為相反數時。不要忘了改變符號}；
②按解整式方程的步驟（移項，若有括弧應去括弧，注意變號，合併同類項， 係數化為1）求出未知數的值；
③驗根（求出未知數的值後必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值範圍，可能產生增根）。
一般地驗根，只需把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等於0，這個根就是增根，否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，則原方程無解。
如果分式本身約分了，也要代進去檢驗。
基本步驟
（1）設未知數：若把題目中要求的未知數直接用字母表示出來，則稱為直接設未知數，否則稱間接設未知數；
（2）列代數式：用含未知數的代數式把題目中有關的量表示出來，必要時作出示意圖或列成表格，幫助理順各個量之間的關係；
（3）列出方程：根據題目中明顯的或者隱含的相等關係列出方程；
（4）解方程並檢驗；
（5）寫出答案。
在列分式方程解套用題時，不僅要檢驗所的解是否滿足方程式，還要檢驗它是否符合題意。
一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解。
分式方程及其套用舉例
例1：解方程（1）x/(x+1）=2x/（3x+3）+1
兩邊乘3(x+1）去分母得
3x=2x+（3x+3）
3x=5x+3
2x=-3
∴x=-3/2
經檢驗，x=-3/2是原方程的解
（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）
兩邊乘（x+1）(x-1）去分母得
2(x+1）=4
2x+2=4
2x=2
∴x=1
檢驗 ：把x=1帶入原方程，使分母為0，是增根。
故原方程2/（x-1）=4/（x^2-1 ）無解 。
（3）2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)
兩邊同時減1/（x-5)，得x=5
代入原方程，使分母為0，所以x=5是增根
即方程無解！
檢驗：把x=a 帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0,則a是原方程的增根。若x=a使最簡公分母不為零, 則a是原方程的根。
歸納：解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程
兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。 檢驗格式：把x=a 帶入最簡公分母，若x=a使最簡公分母為0，則a是原方程的增根.若x=a使最簡公分母不為零，則a是原方程的根。
當然我們可憑經驗判斷是否有解。若有解，代入所有分母計算：若無解，代入無解分母即可。
例2：（2010湖南邵陽）小明離家2.4千米的體育館看球賽，進場時，發現門票還放在家中，此時離比賽還有45分鐘，於是他立即步行（勻速）回家取票，在家取票用時2分鐘，取到票後，他馬上騎腳踏車（勻速）趕往體育館。已知小明騎腳踏車從家趕往體育館比從體育館步行回家所用時間少20分鐘，騎腳踏車的速度是步行速度的3倍。
（1）小明步行的速度（單位：米/分鐘）是多少？
（2）小明能否在球賽開始前趕到體育館？
【解析】（1）設步行的速度為x米/分鐘，則騎腳踏車的速度為3x米/分鐘。
解得x=80，3x=240依題意得（2400╱x）-（2400╱3x）=20
經檢驗，x=80是原方程的根。
答：小明步行的速度是80米/分鐘。
（2）來回家取票總時間為：
（2400╱x）+（2400╱3x）+2=42分鐘<45分鐘
所以他能在球賽開始前趕到體育館。
答：小明能在球賽開始前趕到體育館。
