分式方程

分式方程

分母里含有未知數的方程叫做分式方程。分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數的值;③驗根(求出未知數的值後必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值範圍,可能產生增根).驗根時把整式方程的根代入最簡公分母,如果最簡公分母等於0,這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。

基本信息

數學術語

等號兩邊至少有一個分母含有未知數的有理方程叫做分式方程。

分式方程概念

分式方程是方程中的一種,且分母里含有未知數的(有理)方程叫做分式方程(fractional equation)。例如100/x=95/x+0.35
補充:該部分知識屬於初等數學知識,一般在初二的時候學習。(人教版八年級下冊數學第三章的3.7中出現 76-81頁)

分式方程的解法

①去分母

方程兩邊同時乘以最簡公分母(最簡公分母:①係數取最低公倍數②出現的字母取最高次冪③出現的因式取最高次冪),將分式方程化為 整式方程;若遇到互為相反數時.不要忘了改變符號。

②按解整式方程的步驟

移項,若有括弧應去括弧,注意變號,合併同類項,把係數化為1 求出未知數的值;

③驗根

求出未知數的值後必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值範圍,可能產生 增根.
驗根時把整式方程的根代入最簡公分母,如果最簡公分母等於0,這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根,則原方程無解。
如果分式本身約分了,也要帶進去檢驗。
在列分式方程解套用題時,不僅要檢驗所得解的是否滿足方程式,還要檢驗是否符合題意。
一般的,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零,因此要將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為零,則是方程的解.
注意
(1)注意去分母時,不要漏乘整式項。
(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
(3)増根使最簡公分母等於0。

歸納

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母,這也是解分式方程的一般思路和做法。
例題:
(1)x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
兩邊乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
-2x=3
x=3/-2
經檢驗,x=-3/2是方程的解
(2)2/(x-1)=4/(x^2-1)
兩邊乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
把x=1代入原方程,分母為0,所以x=1是增根。
所以原方程無解
一定要檢驗!
例:
2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)
兩邊同時減1/(x-5),得x=5
代入原方程,使分母為0,所以x=5是增根
所以方程無解!
檢驗格式:把x=a 帶入最簡公分母,若x=a使最簡公分母為0,則a是原方程的增根.若x=a使最簡公分母不為零,則a是原方程的根. 
注意:可憑經驗判斷是否有解。若有解,帶入所有分母計算:若無解,帶入無解分母即可

分式方程套用題

列分式方程解套用題的一般步驟是:找等量關係-設-列-解-檢驗-答。
例題
南寧昆明西站的路程為828KM,一列普通列車和一列直達 快車都從南寧開往 昆明。直達快車的速度是 普通快車速度的1.5倍,普通快車出發2H後,直達快車出發,結果比普通列車先到4H,求兩次的速度.設普通車速度是x千米每小時則直達車是1.5x所以普通車時間是828/x小時,直達車是828/1.5x普通車先出發2小時,晚到4小時,所以相差6小時所以828/x-828/1.5x=6 ,(828*1.5-828)/1.5x=6 ,414/1.5=6x, x=46, 1.5x=69所以普通車速度是46千米每小時,直達車是69千米每小時。

無解的含義:
1.解為增根。
2.整式方程無解。(如:0x不等於0。)

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