函式方程

函式方程

函式方程是含有未知函式的方程。函式方程可以有一個解,可以無解,也可以有多個解,甚至可以有無窮多個解。 能使函式方程成立的函式叫做函式方程的解,求函式方程的解或證明函式方程無解的過程叫解函式方程。 函式方程的解法有 代換法(或換元法)、 待定係數法 、疊代法、 柯西法等。

概念

定義

含有未知函式的等式叫做函式方程。如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函式

能使函式方程成立的函式叫做函式方程的解。如f(x)=x-1、偶函式、奇函式、周期函式分別是上述各方程的解

解函式方程

函式方程與代數方程、微分方程不同,並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函式和初等函式的方程的解法完全不同。

對於二元函式方程,對其變數賦予特殊值的做法較多。

函式方程 函式方程

例子:解函式方程。

函式方程 函式方程
函式方程 函式方程

設。所以。

函式方程 函式方程

現在,設:

函式方程 函式方程
函式方程 函式方程
函式方程 函式方程
函式方程 函式方程

由於實數的平方非負,以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零,因此對於所有 x,,所以f(x)=0是唯一的解。

定理

若f(x)是單調(或連續)函式且滿足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、則f(x)=xf(1)

證明:由題設不難得

f(x+x+…+x)=f(x)+f(x)+…+f(x)

取x=x=…=x=x,得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

令x=0,則f(0)=nf(0),解得f(0)=0 --------- (1)

x=1,則f(n)=nf(1)

x=m/n,則f(m)=nf(m/n) ,解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)

x=-m/n ,且令y=-x>0,則f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0

∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

由上述(1)(2)(3)知:對任意有理數x均有f(x)=xf(1)

另一方面,對於任意的無理數x,因f(x)連續,取以x為極限的有理數序列,則有 :f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)

綜上所述,對於任意實數x,有

f(x)=xf(1)

解法

代換法

把函式方程中的自變數適當地以別的自變數代換(代換時應注意使函式的定義域不會發生變化),得到一個新的函式方程,然後設法求得未知函式

例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x,那么f(x)=______________。

略解:設t=2x-1,則x= (t+1)/2,那么f(t)= [(t+1) ]/4+ (t+1)/2=(t +4t+3)/4

故f(x)=(x +4x+3)/4

(2) 已知f(x+1)=x+2 ,那么f(x)=____________。

略解:f(x+1)=(x+1) -1,故f(x)=x -1 (x≥1)

(3) 已知f(x+2)=x +2,那么f(x)=_______________。

略解:f(x+2)=(x+2) -2,故f(x)=x -2 (|x|≥2)

例2 設ab≠0,a ≠b ,求af(x)+bf(-t)=cx的解

解:分別用x=-t,x=t代入已知方程,得

af(-t)+bf(t)=-ct------(1)

af(t)+bf(-t)=ct------(2)

由(1)(2)組成方程組解得 f(t)=ct/a-b

即: f(x)=cx/a-b

待定係數法

當函式方程中的未知數是多項式時,可用此法經比較係數而得

例3 已知f(x)是一次函式,且f{f[f...f(x)]}=1024x+1023。求f(x)

解:設f(x)=ax+b (a≠0),記f{f[f…f(x)]}=fn(x),則

n次

f (x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a x+b(a+1)

f (x)=f{f[f(x)]}=a[a x+b(a+1)]+b=a x+b(a +a+1)

依次類推有:f (x)=a x+b(a +a +…+a+1)=a x+...

由題設知:

a =1024

∴a=2,b=1 或 a=-2,b=-3

∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3

疊代法

由函式方程找出函式值之間的關係,通過n次疊代得到函式方程的解法

例4 設f(x)定義在正整數集上,且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)

解:令y=1,得f(x+1)=f(x)+x+1

再依次令x=1,2,…,n-1,有

f(2)=f(1)+2

f(3)=f(2)+3

……

f(n-1)=f(n-2)+(n-1)

f(n)=f(n-1)+n

依次代入,得

f(n)=f(1)+2+3+…+(n-1)+n=

∴f(x)= n(n+1)/2

(x∈N+)

例5 ,已知f(1)= 且當n>1時有 。求f(n) (n∈N+)

解:把已知等式(遞推公式)進行整理,得

f(n-1)-f(n)=2(n+1)f(n)f(n-1)

∴ =2(n+1)

把n依次用2,3,…,n代換,得(n-1)個等式相加,得

=2[3+4+…+(n+1)]=(n-1)(n+4)

∴ f(n)= (n-1)(n+4)=n +3n+1

∴f(n)=n +3n+1

柯西法

在f(x)單調(或連續)的條件下,利用柯西函式方程的解求解

例6 設f(x)連續且不恆為0,求函式方程f(x+y)=f(x)f(y)的解

解:∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0

若存在x0∈R,使f(x0)=0。則對一切實數x,有

f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0

這與f(x)不恆為0矛盾,故f(x)>0

對題設f(x+y)=f(x)f(y)兩邊取自然對數,得

㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)

∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)

令g(x)=㏑f(x)

∵f(x)>0且連續 ∴g(x)連續且滿足g(x+y)=g(x)+g(y)。由定理知:

g(x)=g(1)x

故 ㏑f(x)=x㏑f(1)

∴f(x)=e ㏑f(1)=f(1)^x

令f(1)=a,則f(x)=a (a>0)

類似的,利用柯西函式方程的解,在連續或單調的條件下可得:

(1) 若f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0),則f(x)=㏒ax

(2) 若f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0),則f(x)=ux(u由初值給出)

(3) 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax +bx

(4) 若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b

例子

函式方程

函式方程 函式方程

的解是黎曼ζ函式。

函式方程

函式方程 函式方程

的解是伽瑪函式。

函式方程

函式方程 函式方程

的解是伽瑪函式。

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