再生產平衡模型

定 義

再生產平衡模型是寧夏學者楊斌林先生先在再生產公式的基礎上研製成了再生產平衡表，又在再生產平衡表的基礎上引入線性代數，建立起來的一種經濟數學模型。

原 理

已知各個分部類的c 與v+m/x的比例及其明細構成即消費係數；設各個分部類之間的比例為X1∶X2∶X3∶X4；令各個分部類均縱橫平衡——表示貨幣回流。求解各個分部類保持什麼樣的比例才能實現全部平衡——類似於一般均衡。

舉 例

四個分部類再生產平衡模型

	Ⅰ1	Ⅰ2	小 計	Ⅱ1	Ⅱ2	小 計	總商品 總收入
Ⅰ1	20X1	25X2		40X3	30X4		100X1
Ⅰ2	20X1	15X2		30X3	30X4		100X2
小 計
Ⅱ1	(15+15)X1	(20+20)X2		(5+5)X3	(10+10)X4		100X3
Ⅱ2	(15+15)X1	(10+10)X2		(10+10)X3	(10+10)X4		100X4
小 計
總消費 總支出	100X1	100X2		100X3	100X4		∑

求 解

模型是四元線性方程組：
20X1+25X2+40X3+30X4=100X1
20X1+15X2+30X3+30X4=100X2
30X1+40X2+10X3+20X4=100X3
30X1+20X2+20X3+20X4=100X4
100X1+100X2+100X3+100X4=∑
移項，得
-80X1+25X2+40X3+30X4=0 ①
20X1-85X2+30X3+30X4=0②
30X1+40X2-90X3+20X4=0③
30X1+20X2+20X3-80X4=0④
0+0+ 0+0=0

瓦爾拉斯定理再現

因為常數項均為0，所以這是一個齊次線性方程組。因為①+②+③+④=0，所以四個方程只有三個是獨立的，必有一個是多餘的。也就是說，任意三個方程相加，必能推導出剩下的一個來。正如瓦爾拉斯定理所說的“若有n個方程，只有n-1個是獨立的”。

求解結果

去掉任意一個多餘的方程，解剩下的三元一次方程組，得
X1=784/629X4
X2=650/629X4
X3=690/629X4
這種方程組有0解和無窮多組非0解。0解無意義。求非0解，可令任意一個X等於任意一個非0值，就可求出任意多個非0解。一般令X1=1，就可求出X2、X3、X4的相對值來。但求出來的解是分數值（也就是小數值），會有少許誤差。為了求整數解，令X4=629，得
X1=784
X2=650
X3=690
也就是說，X1：X2：X3：X4=784：650：690：629

驗 證

將上述解代入模型，得：

四個分部類再生產平衡表

	Ⅰ1	Ⅰ2	小計	Ⅱ1	Ⅱ2	小計	總商品 總收入
Ⅰ1	15680	16250	31930	27600	18870	46470	78400
Ⅰ2	15680	9750	25430	20700	18870	39570	65000
小計	31360	26000	57360	48300	37740	86040	143400
Ⅱ1	11760+ 11760	13000+ 13000	24760+ 24760	3450+ 3450	6290+ 6290	9740+ 9740	69000
Ⅱ2	11760+ 11760	6500+ 6500	18260+ 18260	6900+ 6900	6290+ 6290	13190+ 13190	62900
小計	23520+ 23520	19500+ 19500	43020+ 43020	10350+ 10350	12580+ 12580	22930+ 22930	131900
總消費 總支出	78400	65000	143400	69000	62900	131900	275300

從表中發現，表的縱橫是平衡的，Ⅰ（43020v+43020m/x）竟然=Ⅱ86040c，這說明模型和表與馬克思的公式是完全相通的。用公式表示就是:
Ⅰ 57360c+43020v+43020m/x=143400
Ⅱ 86040c+22930v+22930m/x=131900
合計143400c+65950v+65950m/x=275300

意 義

模型的意義在於把數學引入了再生產理論之中，計算出了兩大部類及其分部類的比例關係，強化了定量分析。以前常說正確處理兩大部類的比例關係，但正確的比例關係誰也不會計算。馬克思認為：“一種科學只有在成功地運用了數學以後，才算達到了完善的地步。”再生產理論也應該是這樣。馬克思雖然精通數學，但沒把數學運用到再生產理論之中，以至於人們不能量化兩大部類的比例關係。現在，我們把數學運用到再生產理論之中，建立再生產平衡模型，精確地計算兩大部類及其各個分部類之間的比例關係。

模型的另一個意義是為再生產理論與一般均衡理論的溝通、比較、識別架起了橋樑。