數學中的空間
正文
物理空間概念的延伸和抽象。如歐幾里得空間、雙曲空間、黎曼空間、各種函式空間和拓撲空間等等。它們反映了人們對空間結構各種屬性認識的發展。 最早的數學空間概念是歐幾里得空間。它來源於對空間的直觀，反映了空間的平直性、均勻性、各向同性、包容性、位置關係（距離）、三維性，乃至無窮延伸性、無限可分性、連續性等方面的初步認識。但在很長時期里，人們對空間的理解只局限於歐幾里得幾何學的範圍，認為它與時間無關。19世紀20年代，非歐幾何的出現突破了歐幾里得空間是唯一數學空間的傳統觀念。非歐幾里得幾何的空間概念具有更高的抽象性，它與歐幾里得空間統一成常曲率空間，而常曲率空間又是黎曼空間的特殊形式。19世紀中葉，G.F.B.黎曼還引進流形概念。這些概念不僅對物理空間的認識起了很大作用，而且也大大豐富了數學中的空間概念。
19世紀末20世紀初,人們給出了維數的拓撲定義,並對函式空間的度量性質進行深入研究，從而產生了一系列重要的數學空間概念，特別是一般的拓撲空間概念。20世紀30年代後，數學中的各種空間在數學結構的基礎上得到統一處理，人們對各種數學空間獲得較完善的認識，並隨著對物理空間認識的深入以及數學研究的發展，從代數、幾何、拓撲方面推廣各種數學上的空間觀念。在代數方面對空間概念的推廣主要來源於解析幾何的產生和發展。幾何對象（點、線等）與數組結成對應關係，使人們可以對空間進行精確的定量描述。這樣便容易把坐標三數組推廣到坐標 n數組（向量），其所對應的空間即為 n維線性空間或向量空間。這種空間從維數上對歐幾里得空間做了推廣，但抽去了歐幾里得空間中的距離概念。實數域上的線性空間通常可以推廣到一般域上，特別是有限域上的線性空間成了只有有限多個點的空間，其空間的連續性也被捨棄了。從代數和幾何方面，可以把空間推廣成仿射空間和射影空間。射影空間可通過幾何方法或坐標方法把無窮遠點和無窮遠線包括在內。另外，也可以通過數組、相空間、狀態空間等等使各種空間成為物理學乃至其他科學處理運動的直觀模型。
空間的更抽象形式是拓撲空間。由於拓撲結構反映點與點之間的親疏遠近關係，因而在拓撲空間中歐幾里得空間的距離和向量空間的向量長度這些概念都被捨棄了。
人們對各種數學空間的研究，反映了人們從局部、粗淺的直觀到更深刻地認識空間的各種屬性的過程。例如，拓撲學的發展，使人們對空間的維數、連續性、開閉性、空間的有邊和無邊以及空間的定向都有了更深入、更本質的理解。流形的研究對於空間的有限與無限、局部與整體的認識也產生了飛躍。流形概念是空間概念的重要發展。它從局部上看是歐幾里得空間，但從整體上看可以有各種形式。它可開可閉，可有邊可無邊。這種深刻的認識對於物理空間的研究有著推動作用。例如，閔可夫斯基空間是狹義相對論的數學模型，黎曼空間則成為廣義相對論的數學模型（見相對論）。
