概念
龐特里亞金空間(Pontriakin space)是特殊的不定度規空間。設H和H分別是不定度規空間H 的負性和正性子空間，並且H和H分別按內積±[·，·]成為希爾伯特空間。如果有H=H⊕H，則稱它是H的正則分解。設H=H⊕H是不定度規空間H的一個正則分解，如果dim H=k<+∞(或dimH=k<+∞)，則稱(H，[·，·])為具有負指標k(正指標k)的龐特里亞金空間，記為Π，如果dimH=+∞，稱(H，[·，·])為克列因空間，記為π。
內積空間
具有內積運算的線性空間，是n維歐氏空間的無限維推廣。設K是實數域或複數域，H是K上線性空間，如果對H中任何兩個向量x，y，都對應著一個數(x，y)∈K，滿足條件：
1.(共軛對稱性)對任意的x，y∈H，有
龐特里亞金空間(x，y)=
2.(對第一變元的線性性)對任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).
3.(正定性)對一切x∈H，有(x，x)≥0且
(x，x)=0⇔x=0，
這時(·，·)稱為H中的內積，而稱H為(實或復)內積空間，或準希爾伯特空間。令
龐特里亞金空間‖x‖=，
龐特里亞金空間則按範數‖·‖，H成為賦范線性空間.設(X，‖·‖)是賦范線性空間，X中能定義內積(·，·)並使‖x‖=恆成立的充分必要條件是X的範數‖·‖滿足下面的平行四邊形公式：對任何x，y∈X，
‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖).
完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間H上連續線性泛函的全體記為H，稱H為H的共軛空間。H的共軛空間H就是H本身。事實上，設f∈H，則存在惟一向量y∈H使得對所有x∈H都成立著f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理)。反之，對每個y∈H，f(x)=(x，y)確定了H上一個連續線性泛函f∈H。做H到H的映射C如下：C：y→f(y∈H)，則有：
龐特里亞金空間即C實現了H與H*之間的保范共軛線性同構，在此同構意義下，把f與y視為等同，便得H=H.這一性質也稱為希爾伯特空間的自共軛性，它在希爾伯特空間運算元理論中具有很重要的作用。
第一個具體的希爾伯特空間最早是由希爾伯特(Hilbert，D.)在研究積分方程時首先提出的，他在平方可和的無窮實數列{x}全體組成的空間l中規定了內積：
龐特里亞金空間({x}，{y})=xy，
把空間l看做歐幾里得空間向無窮維的推廣，從而有效地解決了一類積分方程求解及本徵展開問題。不久馮·諾伊曼(von Neumann，J.)建立了一般希爾伯特空間的理論。希爾伯特空間的概念和理論已被廣泛套用於數學和物理的各個分支。如積分方程、微分方程、隨機過程、函式論、調和分析、數學物理和量子物理等。
不定度規空間
不定度規空間亦稱不定內積空間。內積空間的推廣。設H為線性空間，[·，·]是H上的一個雙線性埃爾米特泛函，稱(H，[·，·])是擬不定度規空間。設x∈H，當x分別滿足[x，x]>0，[x，x]<0，[x，x]=0時，分別稱x為正性、負性、零性(或迷向)向量。設L是H的線性子空間，如果L中一切向量都是正性(或負性，或零性)的，則稱L是H的正性(或負性，或零性)子空間；如果L中一切x都滿足[x，x]≥0(或[x，x]≤0)，則稱L是H的半正(或半負)子空間。對於x，y∈H，如果[x，y]=0，稱x與y相互正交，記為x⊥y。同樣可定義兩個子集合M和N的正交概念。子空間L若滿足L∩L={0}，則稱L是非退化的。非退化的擬不定度規空間稱為不定度規空間。
1942年，不定度規空間概念出現在狄喇克(Dirac，P.A.M.)有關量子場論的文章中，後來龐特里亞金(Понтрягин，Л.С.)從研究力學問題的需要開始從數學上探討不定度規空間上的運算元理論，1974年，波哥納(Bogner，J.)給出關於一般不定度規空間理論的第一本專著，其上的線性運算元也逐漸開始為人們所理解。
希爾伯特空間
希爾伯特空間是歐幾里德空間的直接推廣。對希爾伯特空間及作用在希爾伯特空間上的運算元的研究是泛函分析的重要組成部分。
設H是一個實的線性空間，如果對H中的任何兩個向量x和y，都對應著一個實數，記為(x，y)、滿足下列條件：
①對H中的任何兩個向量x，y，有(x，y)=(y，x);
②對H中的任何三個向量x、y、z及實數α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);
③對H中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要條件是x=0。則(x，y)稱為是H上的一個內積，而H稱為內積空間。
如果定義‖x‖=，則在‖0‖下，H構成一個線性賦范空間。
完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間的概念還可以推廣到複線性空間上。
歐幾里德空間是希爾伯特空間的一個重要特例，希爾伯特空間的另一個最重要的特例是L(G)，設G是n維歐幾里德空間中的一個有界閉域， 定義在G上的滿足⨜G|f(x)|dx<+∞的勒具格可測函式全體記為L(G)，在L2(G)中引入內積(f，g)=⨜Gf (x)g(x)dx，則L(G) 是一個希爾伯特空間，L(G)是實用中最重要和最常用的希爾伯特空間。
希爾伯特空間有許多與歐幾里德空間相似的性質，例如，在希爾伯特空間中，可以定義向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一許瓦茲不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希爾伯特空間中，存在著完全的標準正交系，希爾伯特空間中的任一向量可以依任一完全的標準正交系分解。
在泛函分析中，詳細地研究了希爾伯特空間自共軛運算元的理論，特別是自共軛運算元的譜理論，這一理論在經典數學的不少領域中有廣泛的套用。需要特別指出的是，自共軛運算元的譜理論，為量子力學的發展，提供了適合的工具。
理論數學、套用數學和物理中的許多問題，在希爾伯特空間中，可得到較好的處理，因此，希爾伯特空間成為泛函分析中最重要的和最常用的一類空間，它在許多其他數學分支、理論物理和現代工程技術理論中，也得到了廣泛的套用。
