倍立方問題
倍立方問題要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍，結果體積當然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變為一個長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救於當時著名的學者柏拉圖。
開始，柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易。他們根據平時的經驗，覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等於已知正方形的2倍，那么作一個正方體，使它的體積等於已知正方體體積的2倍，還會難嗎?結果，……但是，柏氏門徒當時倒有兩件差點成功的作法：
註解
註：『求體積是稜長a的立方體的2倍的立方體』，這問題可以轉化為『求在a與2a之間插入二數x,y，使a,x,y,2a成等比數列』即a:x=x:y=y:2a故x2=ay,y2=2ax，xy=2a2從而x3=a(xy)=a(2a2),故x3=2a3，則稜長x的立方體即為所求。1.已知：線段a求作：對角線互相垂直的直角梯形ABCD，使得,
作法一
(則)作法：1.作互相垂直的線M,線N,交點為O；2.在M上取OC=a，在N上取OD=2a；3.取二曲尺，使一曲尺通過C點，且頂點在N上，另一曲尺通過D點，且頂點在M上，且二尺的另一邊互相密合，如此，便分別在M,N上產生A,B點，則四邊形ABCD中的OA（或OB）即為所求。討論：套用原理為a：x=x：y=y：2a2.已知：線段a求作：線段x,y，使得a：x=x：y=y：2a。
作法二
作法：1.作互相平形且距離為2a的直線M,N*2.在M,N之間，夾著三個全等的直角三角板，使他們的一個直角邊與M密合，相對頂點在N上*3.固定最左邊的一個三角尺，且在最右邊的一個三角尺股上取*4.滑動右邊及中間的三角尺，使每個三角尺的斜邊與相鄰三角尺股交點(R及S)與E,Q共線，則即為所求。
作法三
3.[以下是西元前350年希臘數學家梅內克繆斯Menaechmus)的作法]已知：線段a求作：線段x,y，使得a：x=x：y=y：2a作法：*1.作拋物線[其中頂點(0,0)，對稱軸y軸，過(a,a)]*2.作拋物線[其中頂點(0,0)，對稱軸x軸，過(,a)]¸二拋物線交於P點3.過P作，則即為所求4.[西元前150年戴可利斯(Diocles)發明一種蔓葉線(cissoid),此為三次曲線，它可解倍立方問題作法：1.是圓O內互相垂直的直徑2.E點在弧BC上，Q點在弧BD上，並滿足*3.作於H，交於P，(P點的軌跡就是蔓葉線)4.則討論：套用原理為a：x=x：y=y：2a
