簡介
封面縱觀數學發展史，這類重要的、有價值的數學問題可謂不勝枚舉。而我們《好的數學:“下金蛋”的數學問題》所要介紹的正是從代數、幾何、圖論、數論中採擷出的6個這類經典數學問題。在第一章中，我們介紹多項式方程根式解問題。這一問題涉及的是代數的中心問題——解方程。而通過對這一問題的介紹，我們將看到代數學是如何隨著這一問題的研究一步一步發展起來的。而我們還將看到正是問題最終的解決，又將代數學引向了新的方向。
在第二章中，我們介紹幾何三大問題，即用尺規三等分角、倍立方、化圓為方。這一問題屬於平面幾何。而問題的解決卻要以解析幾何作為工具之一。因此，我們在這一章也會簡單介紹一下解析幾何。
在第三章中，我們介紹歐幾里得第五公設問題。這一問題同樣來自歐氏平面幾何，但對它的2000多年探討的最終結果卻導致了非歐幾何的創立。我們還將看到，非歐幾何的產生對數學的重要意義及其在相對論中的套用。
在第四章中，我們介紹四色問題。這一問題屬於拓撲學或更確切說屬於圖論。我們將看到，誕生於數學遊戲的拓撲學與圖論是如何隨著四色問題的研究而得到進一步發展的。而最終四色定理的計算機證明，又引發了人們對數學證明等問題的深入探討。
在第五章中，我們介紹費馬問題。這一問題屬於數論。我們的介紹亦將從數論的起源開始，並簡單介紹在數論早期發展中做出重要貢獻的幾位數學家及其工作。而最終，我們將以英國數學家懷爾斯的圓夢之旅作為這齣精彩數學戲劇的尾聲。我們還將從中看到，早期的數論伴隨著這一問題的研究而得以擴展向新的數學分支——代數數論。
在第六章，我們介紹素數問題。這一同樣屬於數論的問題曾被列入“希爾伯特問題”，也可稱為“希爾伯特第8問題”。自然，這是一個涵蓋面非常廣的問題。而我們將主要介紹數學之聖杯——黎曼猜想。這一問題與《好的數學:“下金蛋”的數學問題》前五章介紹的問題有一個重要差別，前者都是已經獲解的問題，而只有黎曼猜想這一被許多數學家認為是最重要的數學問題至今仍是有待攀登的數學珠穆朗瑪峰。
媒體推薦
在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這裡有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有不可知！ 我們必須知道。我們必將知道。正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛鍊其鋼鐵意志，發現新方法和新觀點，達到更為廣闊和自由的境界。
——【德】希爾伯特
一個很有意義的問題的解決，在其中投入的巨大努力，以及從中獲得的真知灼見，可能打開一扇新學科的大門，甚至開闢科學的新紀元。
——【美】波利亞編輯推薦
“問題是數學的心臟”。好的問題對數學的發展更有著不可估量的價值。什麼是好的數學問題?最終的判斷取決於數學從該問題的獲益。因而好的數學問題就是能為數學“下金蛋”的問題。《好的數學:“下金蛋”的數學問題》所介紹的6個經典問題正是這類“下金蛋”的數學問題。跟隨我們的介紹，你將清晰了解這些問題的來龍去脈，領略並欣賞它們奇特的吸引力。跟隨我們的介紹，你還將踏上一個反覆體驗“從驚訝到思考”的快樂之旅，你將體會數學之美、感受數學之無窮魅力、獲得對“數學是什麼”的更深理解。
目錄
第一章 多項式方程根式解問題第一節 河谷文明與多項式方程
第二節 兩位代數學之父
第三節 16世紀最壯觀的數學成就
第四節 另兩位代數學之父
第五節 兩顆璀璨的數學流星
第二章 幾何三大問題
第一節 幾何三大問題的由來
第二節 幾何三大問題的歷史解答
第三節 不可解的證明
第三章 歐幾里得第五公設問題
第一節 第五公設問題的由來
第二節 第五公設的試證之路
第三節 非歐幾何的誕生
第四節 非歐幾何的發展與確認
第五節 非歐幾何的影響
第四章 四色問題
第一節 初識四色問題
第二節 拓撲學與圖論：起源於遊戲的數學
第三節 捷報頻傳
第四節 失敗與成功
第五節 四色足夠
第五章 費馬問題
第一節 從畢達哥拉斯到丟番圖
第二節 從費馬到高斯
第三節 最深奧的數學之謎
第四節 兩個世紀的嘗試
第五節 第二次大突破
第六節 戲劇性的圓夢之旅
第六章 素數問題
第一節 素數
第二節 素數定理
第三節 素數的音樂與黎曼零點
參考文獻
……
序言
美國數學家哈爾莫斯說過：“問題是數學的心臟”。這一數學名言言簡意賅地點明了數學問題對數學的重要性。1900年8月，在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特作了題為“數學問題”的著名演講。這一演講，成為世界數學史的重要里程碑，為20世紀的數學發展揭開了光輝的第一頁。這個演講中由希爾伯特提出的23個當時未解決的難題，此後以“希爾伯特問題”著稱。而對這些具有遠見卓識的難題的研究貫穿了整個20世紀，刺激、推動了20世紀整個數學的發展。
美籍華裔數學大師陳省身在工985年南開數學研究所成立時指出：“一定要做好的數學”，“有好的數學和不好的數學之分”，“要從年輕時就懂得欣賞好的數學”。
由這兩個事例中，我們可進一步體會到好的數學問題對數學的極端重要性。那么什麼是好的數學問題呢？在陳省身看來，只有那些有深遠意義，可以不斷深入，有發展前途，可以影響許多學科的數學問題才是“好的數學”，如解方程。而另一些雖然可能也蠻有意思，但難以有進一步發展的數學卻是“不好的數學”，如“拿破崙定理”。而在希爾伯特看來，好的數學問題在於它有用而且增進知識，數學史上重要的特殊問題就在於其能創造新方法、建立新理論、開闢新領域。簡單說，好的數學問題就是能為數學“下金蛋”的數學問題。
文摘
第一章 多項式方程根式解問題第一節 河谷文明與多項式方程
在這一章中，我們將介紹多項式方程〔即一元n次方程（以下簡稱n次方程），有時也稱代數方程〕求解（根）公式的探尋歷程，這種公式要求通過對方程的係數進行有限次四則運算與開方運算，最終給出方程的解。由於方程的求解公式離不開根式，所以人們把多項式方程的求解公式問題也稱為根式解問題。人類對此的最早嘗試可追溯到遙遠的古代文明。
歷史學家往往把興起於埃及、美索不達米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”，而早期數學就是在尼羅河、底格里斯河與幼發拉底河、黃河與長江、印度河與恆河等河谷地帶首先發展起來的。從可考證的史料看，埃及與美索不達米亞的數學在年代上更為久遠，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的中國與印度數學則延續到紀元之後並在中世紀臻於高潮。
在這一節中我們將簡單介紹埃及與美索不達米亞這兩個河谷文明在求解多項式方程方面取得的成就，對中國和印度這方面的貢獻將放在第二節中做介紹。
