阿貝爾群也叫做交換群或可交換群，是滿足其元素的乘積不依賴於它們的次序(交換律公理)的額外要求的群。阿貝爾群推廣了整數集的加法算術；它們以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名。
阿貝爾群的概念是在抽象代數中首先遇到的概念之一，其他首先遇到的基本對象如模和向量空間是對它的精緻。阿貝爾群的理論一般比其他非阿貝爾群要簡單，有限阿貝爾群已經被非常透徹的理解了。在另一方面，無限阿貝爾群的理論是目前正在研究的領域。
定義
阿貝爾群是有著群運算符合交換律的性質的群。因此阿貝爾群也叫做交換群是由對象的集合G和二元運算*構成的，它除了滿足一般的群公理即運算的結合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理。
因為在阿貝爾群中的群運算是符合交換律和結合律的，群元素乘積的值是無關於計算乘積的次序。在其中群運算不符合交換律的群叫做“非阿貝爾群”(或“非交換群”)。
符號
對阿貝爾群有兩種主要符號約定—加法和乘法。
約定運算單位元冪逆元
加法x+y0nx−x
乘法x*y或xye或1xnx−1
一般的說，乘法符號是群的常用符號，而加法符號是模的常用符號。加法符號還可以用來強調特定群是阿貝爾群，在同時考慮阿貝爾群和非阿貝爾群的時候。
乘法表
要驗證有限群是阿貝爾群，可以構造類似於乘法表的一種表格(矩陣)，它叫做凱萊表。如果群G={g1=e,g2,...,gn}在運算⋅下，則這個表的第(i,j)個表項包含乘積gi⋅gj。群是阿貝爾群若且唯若這個表是關於主對角線是對稱的(就是說這個矩陣是對稱矩陣)。
這是成立的因為如果它是於阿貝爾群，則gi⋅gj=gj⋅gi。這蘊含了第(i,j)個表項等於第(j,i)個表項，就是說這個表示關於主對角線對稱的。
例子
整數集和加法運算"+"是阿貝爾群，指示為(Z,+)，運算+組合兩個整數形成第三個整數，加法是符合結合律的，零是加法單位元，所有整數n都有加法逆元−n，加法運算是符合交換律的因為對於任何兩個整數m和n有m+n=n+m。
所有循環群G是阿貝爾群，因為如果x,y在G中，則xy=aman=am+n=an+m=anam=yx。因此整數集Z形成了在加法下的阿貝爾群，整數模以nZ/nZ也是。
所有環都是關於它的加法運算的阿貝爾群。在交換環中的可逆元形成了阿貝爾乘法群。特別是實數集是在加法下的阿貝爾群，非零實數集在乘法下是阿貝爾群。
所有阿貝爾群的子群都是正規子群，所以每個子群都引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和也是阿貝爾群。
矩陣即使是可逆矩陣，一般不形成在乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某些矩陣的群是在矩陣乘法下的阿貝爾群-一個例子是2x2旋轉矩陣的群。
