簡介
在計算機科學中，Floyd-Warshall算法是一種在具有正或負邊緣權重（但沒有負周期）的加權圖中找到最短路徑的算法。算法的單個執行將找到所有頂點對之間的最短路徑的長度（加權）。 雖然它不返迴路徑本身的細節，但是可以通過對算法的簡單修改來重建路徑。 該算法的版本也可用於查找關係R的傳遞閉包，或（與Schulze投票系統相關）在加權圖中所有頂點對之間的最寬路徑。
Floyd-Warshall算法是動態規劃的一個例子，並在1962年由Robert Floyd以其當前公認的形式出版。然而，它基本上與Bernard Roy在1959年先前發表的算法和1962年的Stephen Warshall中找到圖形的傳遞閉包基本相同，並且與Kleene的算法密切相關 在1956年）用於將確定性有限自動機轉換為正則表達式。算法作為三個嵌套for循環的現代公式首先由Peter Ingerman在1962年描述。
該算法也稱為Floyd算法，Roy-Warshall算法，Roy-Floyd算法或WFI算法。
核心思路
路徑矩陣
通過一個圖的權值矩陣求出它的每兩點間的最短路徑矩陣。
從圖的帶權鄰接矩陣A=[a(i,j)] n×n開始，遞歸地進行n次更新，即由矩陣D(0)=A，按一個公式，構造出矩陣D(1)；又用同樣地公式由D(1)構造出D(2)；……；最後又用同樣的公式由D(n-1)構造出矩陣D(n)。矩陣D(n)的i行j列元素便是i號頂點到j號頂點的最短路徑長度，稱D(n)為圖的距離矩陣，同時還可引入一個後繼節點矩陣path來記錄兩點間的最短路徑。
採用鬆弛技術（鬆弛操作），對在i和j之間的所有其他點進行一次鬆弛。所以時間複雜度為O(n^3);
狀態轉移方程
其狀態轉移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；
map[i,j]表示i到j的最短距離，K是窮舉 i,j的斷點，map[n,n]初值應該為0，或者按照題目意思來做。
當然，如果這條路沒有通的話，還必須特殊處理，比如沒有map[i,k]這條路。
算法過程
1，從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。
2，對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比已知的路徑更短。如果是更新它。
把圖用鄰接矩陣G表示出來，如果從Vi到Vj有路可達，則G[i][j]=d，d表示該路的長度；否則G[i][j]=無窮大。定義一個矩陣D用來記錄所插入點的信息，D[i][j]表示從Vi到Vj需要經過的點，初始化D[i][j]=j。把各個頂點插入圖中，比較插點後的距離與原來的距離，G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值變小，則D[i][j]=k。在G中包含有兩點之間最短道路的信息，而在D中則包含了最短通路徑的信息。
比如，要尋找從V5到V1的路徑。根據D，假如D(5,1)=3則說明從V5到V1經過V3，路徑為{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，說明V5與V3直接相連，如果D(3,1)=1，說明V3與V1直接相連。
時間複雜度與空間複雜度
時間複雜度:O(n^3)；
空間複雜度:O(n^2)
優缺點分析
Floyd算法適用於APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路徑)，是一種動態規划算法，稠密圖效果最佳，邊權可正可負。此算法簡單有效，由於三重循環結構緊湊，對於稠密圖，效率要高於執行|V|次Dijkstra算法，也要高於執行|V|次SPFA算法。
優點：容易理解，可以算出任意兩個節點之間的最短距離，代碼編寫簡單。
缺點：時間複雜度比較高，不適合計算大量數據。
算法描述
a) 初始化：D[u,v]=A[u,v]
b) For k:=1 to n
For i:=1 to n
For j:=1 to n
If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then
D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];
c) 算法結束：D即為所有點對的最短路徑矩陣
