定義
和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。
區間的分割
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分一個閉區間[a,b]的一個 分割P是指在此區間中取一個有限的點列 。每個閉區間 叫做一個 子區間。定義 為這些子區間長度的最大值： ，其中 。
黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分再定義 取樣分割。一個閉區間[a,b]的一個取樣分割是指在進行分割 後，於每一個子區間中 取出一點 。 的定義同上。
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分精細化分割：設 構成了閉區間[a,b]的一個取樣分割， 是另一個分割。如果對於任意 ，都存在r(i)使得 ，並存在 使得 ，那么就把分割： 稱作分割 的一個 精細化分割。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更“精細”。
黎曼－斯蒂爾傑斯和
黎曼－斯蒂爾傑斯積分對一個在閉區間[a,b]有定義的實值函式f，g關於取樣分割的 黎曼－斯蒂爾傑斯和定義為以下和式：
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分和式中的表示，故。
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂爾傑斯積分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。
第一種定義
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分A是函式f在閉區間 [a,b]上對函式g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分，若且唯若對於任意的，都存在，使得對於任意的取樣分割，只要它的子區間長度最大值，就有：
黎曼－斯蒂爾傑斯積分第二種定義
黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分 黎曼－斯蒂爾傑斯積分A是函式f在閉區間 [a,b]上對函式g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分，若且唯若對於任意的，都存在一個取樣分割，使得對於任何比其“精細”的分割，都有：
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分若一個函式 f在閉區間 [a,b]上對函式g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分存在，且值為A，則可寫作。
與黎曼積分間的關聯
黎曼－斯蒂爾傑斯積分
黎曼－斯蒂爾傑斯積分若g(x) = x時，f在閉區間[a,b]上對函式g的黎曼－斯蒂爾傑斯積分。即為f在閉區間 [a,b]上的黎曼積分，故從黎曼－斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。
參見
•黎曼積分
•有界變差
