概念
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對於一在區間上之給定非負函式 ,我們想要確定 所代表的曲線與 坐標軸所夾圖形的面積,我們可以將此記為
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黎曼積分的核心思想就是試圖通過無限逼近來確定這個積分值。同時請注意,如 取負值,則相應的面積值 亦取負值。
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定義
1.區間的分割
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一個閉區間[a,b]的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列 。每個閉區間 叫做一個子區間。定義 為這些子區間長度的最大值: ,其中 。
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再定義 取樣分割。一個閉區間[a,b] 的一個取樣分割是指在進行分割 後,於每一個子區間中 取出一點 。 的定義同上。
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精細化分割:設 以及 構成了閉區間[a,b] 的一個取樣分割, 和 是另一個分割。如果對於任意 ,都存在 使得 ,並存在 使得 ,那么就把分割: 、 稱作分割 、 的一個精細化分割。簡單來說,就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。
於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係,稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割,就說前者比後者更“精細”。
2.黎曼和
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對一個在閉區間[a,b]有定義的實值函式 , 關於取樣分割 、 的黎曼和定義為以下和式:
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式中的每一項是子區間長度 與在 處的函式值 的乘積。直觀地說,就是以標記點 到X軸的距離為高,以分割的子區間為長的矩形的面積。
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(一列黎曼和。右上角的數字表示矩形面積總和。這列黎曼和趨於一個定值,記為此函式的黎曼積分。)
3.黎曼積分
不太嚴格地來說,黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候,黎曼和趨向的極限。下面的證明中,會對“越來越‘精細’”作出嚴格的定義。
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要使得“越來越‘精細’”有效,需要把 趨於0。如此 中的函式值才會與 接近,矩形面積的和與“曲線下方”的面積的差也會越來越小。實際上,這就是黎曼積分定義的大概描述。
嚴格定義如下:
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是函式 在閉區間[a,b] 上的黎曼積分,若且唯若對於任意的 ,都存在 ,使得對於任意的取樣分割 、 ,只要它的子區間長度最大值 ,就有:
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也就是說,對於一個函式 ,如果在閉區間[a,b] 上,無論怎樣進行取樣分割,只要它的子區間長度最大值足夠小,函式 的黎曼和都會趨向於一個確定的值,那么在閉區間[a,b] 上的黎曼積分存在,並且定義為黎曼和的極限,這時候稱函式 為 黎曼可積的。
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這個定義的缺陷是沒有可操作性,因為要檢驗所有 的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義,然後證明它們是等價的。
另一個定義:
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是函式 在閉區間[a,b] 上的黎曼積分,若且唯若對於任意的 ,都存在一個取樣分割 、 ,使得對於任何比其“精細”的分割 和 ,都有:
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這兩個定義是等價的。如果有一個 滿足了其中一個定義,那么它也滿足另一個。首先,如果有一個 滿足第一個定義,那么只需要在子區間長度最大值 的分割中任取一個。對於比其精細的分割,子區間長度最大值顯然也會小於 ,於是滿足
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黎曼積分通常被定義為 達布積分(即第二個定義),因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。
性質
1.線性
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黎曼積分是線性變換,也就是說,如果 和 在區間[a,b] 上黎曼可積, 和 是常數,則:
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由於一個函式的黎曼積分是一個實數,因此在固定了一個區間[a,b] 後,將一個黎曼可積的函式設到其黎曼積分的映射 是所有黎曼可積的函式空間上的一個線性泛函。
2.正定性
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如果函式在區間[a,b] 上幾乎處處(勒貝格測度意義上)大於等於0,那么它在[a,b] 上的積分也大於等於零。如果 在區間[a,b 上幾乎處處大於等於0,並且它在 上的積分等於0,那么 幾乎處處為0。
3.可加性
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如果函式 在區間[a,c] 和[c,b] 上都可積,那么 在區間[a,b] 上也可積,並且有
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無論 a、 b、 c之間的大小關係如何,以上關係式都成立。
4.其他性質
1)[a,b]上的實函式是黎曼可積的,若且唯若它是有界和幾乎處處連續的。
2)如果[a,b]上的實函式是黎曼可積的,則它是勒貝格可積的。
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3)如果 是[a,b]上的一個一致收斂序列,其極限為 ,那么:

4)如果一個實函式在區間上是單調的,則它是黎曼可積的,因為其中不連續的點集是可數集 。
推廣

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黎曼積分可推廣到值屬於 維空間 的函式。積分是線性定義的,特別地,由於複數是實數向量空間,故值為複數的函式也可定義積分。
黎曼積分只定義在有界區間上,擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分,即如同反常積分(improper integral)一樣。
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不幸的是,這並不是很合適。平移不變性(如果把一個函式向左或向右平移,它的黎曼積分應該保持不變)喪失了。一般要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足,依然不是我們想要的,因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如,令 在 上,其它域上等於0。對所有 , 。但 一致收斂於0,因此 的積分是0。因此 。即使這是正確的值,可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的套用 。
一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見,但不難證明每個黎曼可積函式都是勒貝格可積的,並且當二者都有定義時積分值也是一致的。
事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分。
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擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子 ,粗略地說,這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法