高等數學詩文一百首

《高等數學詩文一百首》，高等數學詩集。

詩文選集

第一章 函式與極限

數學初等與高等，
按其對象定淺深。
初等研究不變數，
研究變數是高等。
變數相關成函式，
研究採用極限術。
高等數學十數章，
極限方法貫其綱。

第一節 函式

集合是總體，
元素是個體。
列舉法和特徵法，
集合標記由此達。
自然數集整數集，
有理數集實數集。
數集元素都是數，
不含元素是空集。
另有數集多用途，
這是區間和鄰域。
常量與變數，
須從過程來推想。
變數變化相聯繫，
函式由此得定義。
自變數數集，
因變數數集，
兩個數集相對應，
元素按照法則來。
自變數在定義域，
使算式有意義為根據。
值域中是因變數，
單值多值縱線交點出。
函式特性有四類，
有界單調奇偶和周期。
直接函式反函式，
兩個變數相對換。
同一坐標平面對稱軸，
是過原點畫斜線。

第十一節 閉區間上連續函式的性質

閉區間上若連續，
最值有界皆能取。
零點定理看兩端，
兩端異號零值有。
介值定理看介值，
介值必有點可出。
閉區間上若連續，
最值有界皆能取。
一致連續必連續，
閉區間上反推也能書。

第二章 導數與微分

微積分中微分學，
導數微分有其訣。
變化快慢問導數，
微小變化微分解。

第一節 導數概念

導數定義須牢記，
用途廣泛是根基。
分子因變數增量，
分母自變數增量。
相比然後取極限，
導數定義由此現。
負除是左導，
正除是右導。
兩者存在且相等，
充要條件導數存。
幾何意義看傾角，
切線方程由此曉。
若知法線及斜率，
法線方程不難找。
可導必定可連續，
聯續未必就可導。

第七節 函式的微分

可微必可導，
可導必可微。
從其導數表達式，
微分公式直接推。
複合函式求微分，
形式不變可因循。

第三章 微分中值定理和導數的套用第四節 函式單調性的判定法

單調判定看求導，
為正增加為負少。
若是求導值為零，
劃分區間皆單調。

第六節 最大值、最小值問題

最值問題如何解？
端點駐點值先寫。
再將各值相比較，
最大最小找得到。

第七節 曲線的凹凸和拐點

曲線凹凸如何定？
只在二階導數符。
二階為正圖形凹，
二階為負圖形凸。
凹凸既能由此定，
拐點亦可依此尋。
二階導數若為零，
兩側異號拐點準。

第八節 函式圖形的描繪

極值與拐點，
升降與凹凸。
盡皆求出後，
就能繪好圖。

第九節 曲率

記住公式弧微分，
1加導方再開根。
曲率本是一極限，
角度來比其弧段。
一階導數其值小，
曲率看成二階導。
防負添加絕對值，
曲率本是非負值。
曲率圓中有互動，
半徑曲率為倒數。

第十節 方程的近似解

方程要求近似解，
先定範圍再改善。
二分法和切線法，
用了可以得答案。

第四章 不定積分第一節 不定積分的概念與性質

誰的導數是函式？
回答就是原函式。
什麼函式存在原函式？
連續函式一定有。
不定積分要記清，
帶上常數看誰行。
微分運算有互逆，
積分運算來頂替。
導數反求得積分，
積分公式自己尋。
基本積分有什麼？
且聽如下道分明：
常數可積冪可積，
負一次方對數定。
分母是一加平方，
不定積分反正切。
若加成減還開方，
反正弦是真的確。
餘弦正弦皆可積，
正弦積出負號依。
正割餘割若平方，
積成正切負餘切。
正割正切乘後積，
得成正割少正切。
餘割餘切同其理，
只是負號來相依。
自然指數原樣積，
若底非e還須除以對數底。
雙曲正弦與餘弦，
積分只須互動替。

第二節 換元積分法

複合函式求積分，
從其微分來求索。
中間變數一代換，
換元積分用處多。
倒代換來用一用，
分母因子無影蹤。
正切積分是對數，
餘弦取正外添負。
餘切積分對里正，
對前負號變為無。
正割求導正割切，
對數號中加取正。
餘割求得餘割切，
對數號中減取正。
分母數方加平方，
反正切別忘數除。
若是平方減數方，
積成對數正相符。
分母數方減平方，
開方再積反正弦中用數除。
分母若是平方加減一數方，
再開方時積出是對數。

第三節 分部積分法

求導法則看乘積，
反推就是分部積。
何時考慮分部積？
被積函式冪對反。
分部積分試一試，
恰當選取是關鍵。
兼用換元與分部，
積分自然能提速。

第五章 定積分第二節 定積分的性質 中值定理

上限下限若相等，
積分之值就為零。
變換上限與下限，
再添負號值恆定。
相加乘數容易算，
區間還有可加性。
被積函式若為1，
兩限之差就是積分值。
被積函式大於零，
定積分也大於零。
函式小時積分小，
絕對值上看分曉。
最大值和最小值，
積分取值兩矩包。
中值定理有公式，
矩形面積等於積分值。

第三節 微積分基本公式

積分上限若變動，
積分取值成函式。
被積函式若連續，
上限函式導其出。
由此可得原函式，
存在定理開新路。
萊布尼茨與牛頓，
基本公式證出途。
區間端點原函式，
相減定積分值出。

第四節 定積分的換元法

定積分也可換元，
比起不定更簡潔。
上限下限若變動，
簡化計算容易些。

第六節 定積分的近似計算

近似計算定積分，
先用矩形和梯形。
等分區間偶數個，
拋物線法亦可行。

第六章 定積分的套用第一節 定積分的元素法

定積分用元素法，
從其條件來出發。
變化區間有變數，
部分之和要可加。
函式值乘區間長度值，
部分如此積分就可下。
按其步驟來選取，
要寫積分如下述：
先選變數和區間，
再分區間取其微。
自變微分乘函式，
部分量形須如此。
以此作為被積式，
再添區間是定積。

第二節 定積分的套用

定積分的用處找一找，
平面圖形面積到。
旋轉體來求體積，
截面已知體積曉。
光滑曲線可求長，
從其坐標再協商。
物理學中用定積，
作功水壓和引力。
定積分除區間長，
就得函式平均值。

第七章 空間解析幾何與向量代數

笛卡兒創坐標系，
函式圖形得解析。
點與序數相對應，
代數法解幾何題。

第一節 空間直角坐標系

直角坐標空間點，
橫縱豎軸相關聯。
右手規則定三向，
三個垂面交一點。
兩點距離記心腸，
投影方和再開方。
若是原點一端立，
坐標方和再開方。

第四節 數量積、向量積、混合積

兩向量有數量積，
兩模乘上餘弦值。
若是求其向量積，
大小方向須同記。
兩模乘上正弦值，
方向須從右手系。
坐標表示向量積，
行列式中單位向上依。
向量積式有先後，
乘項交換符更替。
混合積中有次序，
向量積後數量積。
坐標放進行列式，
三組投影按序記。
幾何意義是體積，
右手轉成是正值。

第五節 曲面及其方程

曲面對應有方程，
方程對應有曲面。
已知曲面建方程，
已知方程建曲面。

第七節 平面及其方程

平面向量乘法向，
數量積值必為零。
平面方程點法式，
由此可以寫分明。
點法方程再簡化，
一般方程現其形。
係數就是法向量，
平面方程認得清。

第八節 空間直線及其方程

平面相交得直線，
直線方程由此現。
方向向量若知曉，
點向方程不難找。
點向方程確定了，
參數方程易推導。
方程組中方程乘數加，
加成面束只有一面少。