高等代數中的典型問題與方法

《高等代數中的典型問題與方法》全面、系統地總結和歸納了高等代數中問題的基本類型、每種類型的基本方法，對每種方法先概括要點，再選取典型而有一定難度的例題，逐層剖析。對一些較難理解的問題，在適當的章節做了專題研究，進行了較深入的探討和總結，如：線性變換的對角化、矩陣的分解等問題，以消除讀者長期以來對其抽象問題在理解上含糊不清的疑慮，從而更深入地領會問題。全書共分9章，42節，111個條目，約210個問題，涉及多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。

內容簡介

《高等代數中的典型問題與方法》是為正在學習高等代數的讀者、正在複習高等代數準備報考研究生的讀者以及從事這方面教學工作的年輕教師編寫的。《高等代數中的典型問題與方法》與北京大學數學系幾何與代數教研組編寫的《高等代數(第三版)》相配套，在編寫上也遵循此教材的順序。
《高等代數中的典型問題與方法》大量採用全國部分高校歷屆碩士研究生高等代數入學試題，並參閱了50餘種教材、文獻及參考書，經過反覆推敲、修改和篩選，在長期教學實踐的基礎上編寫而成。選材具有典型性、靈活性、啟發性、趣味性和綜合性，配套的各節練習題可提高學生進一步分析問題和解決問題的能力，對培養學生的能力極為有益。

目錄

第1章　多項式

1.1　多項式的概念與運算
一、多項式的基本概念
二、多項式的運算
1.2　多項式的整除
一、帶餘除法及其計算
二、整除
三、最大公因式及其求法
四、多項式的互素
1.3　多項式的因式分解
一、不可約多項式
二、k重因式
三、多項式函式
四、一般數域上的因式分解及根的性質
五、複數域上多項式的因式分解及根的性質
六、實數域上多項式的因式分解及根的性質
七、有理數域上多項式的因式分解及根的性質

第2章　行列式

2.1　用定義計算行列式
2.2　求行列式的若干方法
一、三角化法
二、用行列式的性質化為已知行列式
三、滾動相消法
四、拆分法
五、加邊法
六、歸納法
七、利用遞推降級法
八、利用重要公式與結論
九、用冪級數變換計算行列式
2.3　利用降級公式計算行列式
2.4　有關行列式的證明題
2.5　一個行列式的計算與推廣
一、Dn的計算
二、問題的推廣

第3章　線性方程組

3.1　線性相關性（Ⅰ）
一、線性相關
二、線性無關
三、綜合性問題
3.2　矩陣的秩
3.3　線性方程組的解
一、線性方程組的幾種表示形式
二、線性方程組有解的判定及解的個數
三、線性方程組解的結構

笫4章　矩陣

4.1　矩陣的基本運算
一、矩陣的加法和數乘
二、矩陣的乘法
三、矩陣的轉置
四、矩陣的伴隨
4.2　矩陣的逆
一、矩陣逆的性質
二、矩陣逆的求法（Ⅰ）
三、矩陣不可逆的證明方法
四、矩陣多項式的逆（Ⅱ）
4.3　矩陣的分塊
一、分塊陣的乘法及其套用
二、分塊陣的廣義初等變換
三、關於分塊陣的逆（Ⅲ）
4.4　初等矩陣
一、初等矩陣及其性質
二、初等變換的套用
三、矩陣的等價
4.5　若干不等式
一、Steinitz替換定理及其套用
二、利用整齊與局部的思想（實例）

第5章　二次型

5.1　二次型與矩陣
一、二次型的概念及其表示
二、二次型與對稱矩陣
5.2　標準形與規範形
一、標準形
二、規範形及其唯一性
三、（反）對稱矩陣（Ⅱ）
5.3　正定二次型的判定（Ⅰ）
一、正定二次型的判定
二、正定矩陣的判定
5.4　其他各類二次型
一、負定二次型
二、半正（負）定二次型
5.5　不等式與二次型（實例）

第6章　線性空間

6.1　線性空間的定義
一、用定義證明線性空間
二、幾個常用的線性空間
三、向量組的線性相關性
6.2　基與維數.變換公式
一、基與維數的求法
二、變換公式（Ⅰ）
三、坐標的求法
6.3　子空間及其運算
一、子空間的判定
二、子空間的運算
三、直和的證明
四、子空間的性質
6.4　不等式

第7章　線性變換

7.1　線性變換及其運算
一、線性變換的判定及其性質
二、線性變換的多項式
7.2　線性變換與矩陣
一、線性變換的矩陣
二、一一對應關係
三、矩陣的相似
四、變換公式（Ⅱ）
7.3　矩陣（線性變換）的特徵值與特徵向量
一、矩陣特徵值與特徵向量求法
二、矩陣特徵值的和與積
三、代數重數與幾何重數
四、擾動法
7.4　線性變換（矩陣）的對角化問題（Ⅰ）
一、利用特徵向量判定
二、利用特徵值判定
7.5　不變子空間
一、不變子空間的判定
二、特徵子空間
三、值域
四、核
7.6　線性空間的分解
一、多項式理論與線性空間分解初步
二、線性空間的分解

第8章　λ-矩陣

8.1　λ-矩陣的有關概念及結論
一、λ-矩陣的相關概念
二、不變因子，行列式因子與初等因子
8.2　矩陣相似的條件
一、矩陣相似與又一矩陣等價之間的關係
二、矩陣相似的充要條件
8.3　矩陣的Jordan標準形
一、Jordan標準形及其求法
二、Jordan塊的性質及其套用
8.4　Jordan標準形的相似過渡陣的求法
8.5　最小多項式
一、最小多項式及其性質
二、最小多項式的求法
三、最小多項式的套用（實例）
8.6　矩陣的對角化問題
一、利用最小多項式判定矩陣的對角化
二、常見的幾類可對角化矩陣
8.7　矩陣方冪的若干求法
一、秩為1的情況
二、可分解為數量矩陣和冪零矩陣之和的情況
三、歸納法（實例）
四、利用相似變換法
五、特徵多項式法（或最小多項式法）
六、利用Jordan標準形（實例）

第9章　歐幾里得空間

9.1　歐氏空間及其基本性質
一、歐氏空間的基本概念
二、不等式
三、度量矩陣及其性質
9.2　標準正交基
一、標準正交基及其性質
二、標準正交基的求法
三、正交矩陣及其性質
9.3　子空間
一、子空間的正交及其性質
二、正交補
9.4　歐氏空間上的線性變換
一、正交變換
二、對稱變換
三、反對稱變換
四、（反）對稱矩陣（Ⅲ）
9.5　矩陣分解
一、加法分解
二、乘法分解
三、特殊矩陣的分解
練習答案

前言

“高等代數”課是本科數學專業的一門重要的基礎課，也是理工科大學各專業的重要數學工具，它對數學專業的許多後繼課程有直接影響，關係到學生數學素質的培養。這門課程的特點是概念多，內容比較抽象．在長期的教學實踐中，我們深刻體會到，學生們學習和掌握教材的基本知識困難並不大，但要靈活運用基本概念和基礎理論去分析問題和解決問題就感到困難，甚至不知如何著手。為培養學生分析問題和解決問題的能力，目前已出版了大量相關書籍，但仍不能滿足學生的要求。