馬蒂厄群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。由置換組成的群。n元集合Ω=a1,a2,…,an到它自身的一個一一映射,稱為Ω上的一個置換或n元置換。多重傳遞群是比傳遞群有更強的傳遞性質的置換群。

馬蒂厄群(Mathieu group)是一種特殊的多重傳遞群。法國數學家馬蒂厄(Mathieu,E. L.)發現的5個多重傳遞群。它們的次數分別為11,12,22,23,24。後人把這5個群稱為馬蒂厄群,並且用M11,M12,M22,M23,M24來表示。

概念及性質

馬蒂厄群(Mathieu group)是一種特殊的多重傳遞群。法國數學家馬蒂厄(Mathieu,E. L.)發現的5個多重傳遞群。它們的次數分別為11,12,22,23,24。後人把這5個群稱為馬蒂厄群,並且用M,M,M,M,M來表示。馬蒂厄群的最直接的定義方法是舉出集合Ω和S內的若干特別的元素而規定馬蒂厄群是這些元素生成的群。例如,取Ω={1,2,…,12},記:

a=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11),

b=(5,6,4,10)(11,8,3,7),

c=(1,12)(2,11)(3,6)(4,8)(5,9)(7,10).

並規定M=〈a,b〉,M=〈a,b,c〉。又取Ω={1,2,…,24},記:

d=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23),

e=(3,17,10,7,9)(5,4,13,14,19)·(11,12,23,8,18)(21,16,15,20,22),

f=(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)·(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)·(11,17)(13,22)(19,15),

並規定M=〈d,e〉,M=〈d,e,f〉。而記:

g=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)·(12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22),

h=(1,4,5,9,3)(2,8,10,7,6)·(12,15,16,20,14)(13,19,21,18,17),

j=(11,22)(1,21)(2,10,8,6)(12,14,16,20)·(4,17,3,13)(5,19,9,18).

規定M=〈g,h,j〉.馬蒂厄群的階分別為:

|M|=7920, |M|=95040,

|M|=443520, |M|=10200960,

|M|=244823040,

其中M可視為M的一個點的穩定子群;M,M可分別視為M的兩個點的和一個點的穩定子群。

馬蒂厄群的特別重要的性質是:1.它們都是單群,是最早發現的散在單群。2.除M外,其餘4個馬蒂厄群都是4重傳遞群,其中M和M還是5重傳遞的,而且M,M分別為精確4重傳遞和精確5重傳遞群。馬蒂厄群與組合設計有密切的關係,存在施泰納3元系S(4,5,11),S(5,6,12),S(4,7,23),S(5,8,24),使M,M,M,M為它們的自同構群。同時存在一個施泰納3元系S(3,6,22),使M是它的自同構群的指數為2的正規子群。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:

(1)封閉性,a·b∈G;

(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。

滿足交換律的群,稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。

1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

單群

單群是一類重要的群。即不含非平凡正規子群的群。若群G≠{e},且除{e}及G本身外不再含其他的正規子群,則稱G為單群。若此時G還是有限群,則稱G為有限單群。有限單群的例子有:素數階群,交錯群A,n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領域。

正規子群

正規子群亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群,若對任意的x∈G有Hx=xH,則稱H是G的一個正規子群,記為HG.子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H,x∈G,有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群,稱為G的平凡正規子群。

置換群

由置換組成的群。n元集合Ω={a,a,…,a}到它自身的一個一一映射,稱為Ω上的一個置換或n元置換。

有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究,拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里,引進了n個根的一些函式進行研究,開創了置換群的子群的研究,得到“子群的階整除群的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中,對置換群進行了詳細的考察,引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下,柯西發表了關於置換群的重要文章(1815)。他以方程論為背景,證明了不存在n個字母(n次)的群,使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數,除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻,他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念,發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間,寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化,證明了伽羅瓦的斷言:每個有限(置換)群,如果它的階可被一個素數p除盡,就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函式在字母交換下所能取的形式值(即非數字值),並找出一個函式,使其取給定數目的值。

置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中,他本人還發展了置換群理論及其套用。

多重傳遞群

多重傳遞群是比傳遞群有更強的傳遞性質的置換群。設k是一個自然數,而G是Ω上的一個置換群,且|Ω|≥k。若對Ω的任意兩個有序k元子集{α,α,…,α}和{β,β,…,β},都可找到一個元素g∈G,使得α=β,α=β,…,α=β,則稱G在Ω上是k重傳遞的;或簡單地稱,G在Ω上是k傳遞的。由這個定義,1重傳遞群就是通常所稱的傳遞群,2重傳遞群稱為雙傳遞群。一般地,若k≥1,一切k+1重傳遞群都是k重傳遞群。S是惟一的n次n重傳遞群,而A是n次的n-2重傳遞群。還可推出:當k≥2時,G在Ω上是k重傳遞的若且唯若G在Ω上是傳遞的並且對任意α∈Ω,穩定子群G在Ω\{α}上是k-1重傳遞的。由此可知,若G是Ω上的k重傳遞群而|Ω|=n,則G的階是n(n-1)…(n-k+1)的倍數。若k≥2,則一切k重傳遞群都是本原群。人們常把傳遞置換群分作三類加以研究:即二重和二重以上的傳遞群;非二重傳遞的本原群;非本原群.其中二重以上傳遞(即多重傳遞)群的研究一直是置換群理論的引人注意的課題。其背景是,雖然有大量的2重傳遞群和3重傳遞群,但除去S和A外,人們從未發現任何一個6重傳遞群,而4重傳遞群只知道有4個,馬蒂厄群M,M,M,M,其中M,M是5重傳遞的。利用有限單群分類定理,已經決定出全部的2重傳遞群。由此也證實了上述四個馬蒂厄群是A,S以外的全部4重傳遞群。

人物簡介

馬蒂厄

馬蒂厄是法國數學家、物理學家。生於梅斯(Metz),卒於南錫(Nancy)。早年學習拉丁語和希臘語,後來轉向數學。1859年畢業於巴黎理工科大學。1869年任貝桑松(Besancon)大學數學教授。1874年受聘為南錫大學教授。馬蒂厄在博士論文(1859)中論述有關置換群的問題。畢業後轉向數學物理的研究,擴展了一類源於物理問題的偏微分方程的形式與解法。1868年引入橢圓坐標,同時給出相應的函式表達式,後人稱之為“馬蒂厄函式”。1873年又在《數學物理教程》(C-ours de physique mathematiq-ue)中討論了有關橢球體等問題,進一步引入其它一些新函式。他的主要論著收於《數學物理文集》( Traite de physique mathematique,7卷1874—1890)中,其工作對波動方程的理論研究有所推動。

施泰納

施泰納是瑞士數學家。生於瑞士伯爾尼州(Bern)北部的小鎮烏岑斯多夫(Utzen-sdorf),卒於柏林。施泰納幼年是一個牧童,父親是貧苦的農民,無力送他上學。施泰納14歲時還是一個文盲,在家中務農。不過卻有相當好的計算能力。他渴望讀書,18歲時(1814年),違背父母的意願,離家出走。幸運地遇到一位教師佩斯塔洛奇(Johann HeinrichPestalozzi,1746.1.12—1827.2.17),把他吸收到學校來。佩斯塔洛奇是歷史上著名的教育家,一生從事教育工作。1776年,曾收集貧苦兒童二十人,讓他們半耕半讀。1798年,瑞士受法國的侵略,很多兒童流離失所,他又收羅了八十多個戰爭留下的孤兒,在小寺院裡辦耕讀學校。不久又因沒有得到地方的支持而失敗。後來又在瑞士西部的伊韋爾東(Yverdon)辦學校。他為施泰納的誠懇和向學的堅決意志所感,允許施泰納隨班學習。由於佩斯塔洛奇教導有方,使施泰納對數學產生濃厚的興趣,並成為佩斯塔洛奇新教學法的熱烈擁護者。施泰納不久便兼該校教師,受到學生歡迎。1818— 1821 年 在 海 德 堡(Heidelberg當家庭教師,又在中學教課。1822—1824年入柏林大學學習,後任教於技術學校。1834年受聘為柏林大學特別教授以終其生。施泰納是近代射影幾何的奠基人。他的主要著作是《幾何形的相互依賴性的系統發展》(System-atische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischen Gestaltenvon einander,1832)詳細討論了對偶原理,即兩個對偶問題之一為真,則另一個亦真。他建立射影幾何的嚴密系統,推廣卡諾(Carnot)完全四邊形的工作到空間多邊形去,完成了點列、線束、二次曲線及曲面的理論,討論圓錐曲線和“帕斯卡六角形”的種種性質。在幾何方面做出了重要貢獻。被譽為自阿波羅尼奧斯以來最大的幾何學家。施泰納推崇純粹綜合幾何方法,強調幾何直觀,但思想走向極端。他反對甚至厭惡代數和分析的推導。

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